62. O caso especial da distribuição gama em que α é um inteiro positivo n é denominado distribuição de Erlang. Se substituirmos por 1/ α na Expressão (4.7), a fdp Erlang será

f x ; λ ; n = λ ( λ x ) n - 1 e - λ x n - 1 ! ;   x ≥ 0 0 ;   x < 0

É possível demonstrar que, se os tempos entre os eventos sucessivos forem independentes, cada um com uma distribuição exponencial de parâmetro λ , o tempo total X antes de todos os n próximos eventos ocorrerem terá fdp f(x; λ , n).

a) Qual é o valor esperado de X? Se o tempo (em minutos) entre as chegadas de clientes sucessivos for distribuído exponencialmente com λ = 0,5, quanto tempo podemos esperar que passe antes da chegada do décimo cliente?

b) Se o tempo entre as chegadas de clientes for distribuído exponencialmente com λ = 0,5, qual é a probabilidade de o décimo cliente (depois do que acabou de chegar) chegue dentro dos próximos 30 minutos?

c) O evento {X t} ocorre se e somente se ao menos n eventos ocorrerem nas próximas t unidades de tempo. Use o fato de que o número de eventos que ocorrem em um intervalo de duração t possui uma distribuição de Poisson com parâmetro t para escrever uma expressão (envolvendo probabilidades de Poisson) para a FDA de Erlang F(t; λ , n) = P(X t).

Passo 1

Fala galerinha boa? Tudo bem com vocês? Vamos realizar mais um exercício sobre Distribuição Gama.

Na letra a, queremos o valor esperado:

E X = α β = n 1 λ = n λ

E para λ = 0,5 e n = 10, E(X)=20.

Passo 2

Na letra b, queremos a probabilidade de o décimo cliente (depois do que acabou de chegar) chegue dentro dos próximos 30 minutos:

P X ≤ 30 = F 30 2 ; 10 = F 15 ; 10 0,930

Passo 3

Na letra c, queremos escrever uma expressão (envolvendo probabilidades de Poisson) para a FDA de Erlang F(t; λ , n) = P(X t).

P X ≤ t = P p e l o   m e n o s   n   e v e n t o s   n o   t e m p o   t

P X ≤ t = P ( Y ≥ t ) quando Y ~ Poisson com parâmetro λ t. Então:

P X ≤ t = 1 - P Y < n = 1 - P Y ≤ n - 1 = 1 - ∑ k = 0 n - 1 e - λ t ( λ t ) k k !

Valeu, moçada! Até a próxima!

Resposta

a) n λ ; 20

b) 0,930

c) 1 - ∑ k = 0 n - 1 e - λ t ( λ t ) k k !

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