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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 6

Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com boas formando um lote com 12 peças no total. Escolhendo ao acaso 4 dessas peças, determine a probabilidade de encontrar:

  1. Pelo menos 2 defeituosas.
  2. No máximo 1 defeituosa.
  3. No mínimo 1 boa.

Passo 1

No exercício vamos retirar peças sem reposição de um conjunto de peças, onde sabemos que existem peças boas e peças defeituosas, então teremos uma variável aleatória que seguira o modelo Hipergeométrico. No caso nossa população de peças representa nosso n = 12 .   E vamos adotar que nosso m , representa o número de peças defeituosas dentro da nossa população, ou seja m = 3   enquanto nosso r   será representado pela quantidade de peças que vamos recuperar e reanalisar para saber se são defeituosas ou não, portanto r = 4 . Então temos H ~ H i p ( n = 12 ; m = 3 ; r = 4 ) e lembrando que o modelo hipergeométrico obedece a função:

P X = k = m k n - m r - k n r

Onde, k = 0 , 1,2 , m i n ( m ;   r ) , e que:

n k = n ! k ! n - k !

Passo 2

  1. H ~ H i p ( n = 12 ; m = 3 ; r = 4 ) e queremos pelo menos 2 defeituosas, ou seja, 2 ou mais peças, P ( H ≥ 2 )

    2. P H ≥ 2 = P H = 2 + P ( H = 3 )

    No caso, paramos em 3 porque é m i n ( m ;   r ) .

    P H ≥ 2 = 3 2 12 - 3 4 - 2 12 4 + 3 3 12 - 3 4 - 3 12 4 = 0,218 + 0,018   = 0,236

    Passo 3

  2. H ~ H i p ( n = 12 ; m = 3 ; r = 4 ) e queremos no máximo uma defeituosa entre as quatro que vamos analisar, então queremos P ( H ≤ 1 )

    3. P H ≤ 1 = P H = 0 + P H = 1 = 0,254 + 0,509 = 0,764

    Passo 4

  3. H ~ H i p n = 12 ; m = 3 ; r = 4 e queremos no mínimo 1 boa, logo queremos no máximo 3 defeituosas entre as 4, logo:

P H ≤ 3 = P H = 0 + P H = 1 + P H = 2 + P ( H = 3 )

P H ≤ 3 = 0,254 + 0,509 + 0,219 + 0,018 = 1

O que faz muito sentido né? Porque se só tem 3 peças defeituosas entre as 12, e eu vou sortear 4 delas, o máximo de peças defeituosas que eu posso pegar são 3, então sempre vou pegar pelo menos 1 boa!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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