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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 172

Se os eventos A e B forem independentes, mostre que A ' e B ' também o serão.

Passo 1

Sejam A e B eventos independentes, isso significa que:

P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B )

e vamos lembrar que:

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ) P ( B )

Agora vamos calcular:

P ( A ' ∩ B ' ) = 1 - P ( A ∪ B ) = 1 - ( P ( A ) + P ( B ) - P ( A ) P ( B ) ) = ( 1 - P ( A ) ) ( 1 - P ( B ) ) = P ( A ' ) P ( B ' )

E, então, A ' e B ' serão independentes.

Resposta

P ( A ' ∩ B ' ) = 1 - P ( A ∪ B ) = 1 - ( P ( A ) + P ( B ) - P ( A ) P ( B ) ) = ( 1 - P ( A ) ) ( 1 - P ( B ) ) = P ( A ' ) P ( B ' )

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