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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 12

O Exercício 4 forneceu dados sobre x = o aumento do volume de DBO e y = remoção do volume de DBO. Os valores pertinentes são

a. Obtenha a equação da reta dos mínimos quadrados. b. Preveja o valor da remoção do volume de DBO para uma única observação, feita quando o aumento do volume de DBO é 35, e calcule o valor do resíduo correspondente. c. Calcule a SQE e, em seguida, uma estimativa pontual de . d. Que proporção da variação observada na remoção pode ser explicada pela relação linear aproximada entre as duas variáveis? e. Os dois últimos valores x, 103 e 142, são bem maiores que os outros. Como a equação da reta dos mínimos quadrados e o valor de r2 são afetados pela exclusão das duas observações correspondentes da amostra? Ajuste os valores fornecidos e use o fato de que o novo valor de SQE é 311,79.

Passo 1

Usaremos o seguinte:

Regressão linear é uma equação linear de duas variáveis ​​das quais uma é independente e uma é dependente da outra. Seja X uma variável independente e Y dependente. A equação linear é definida por:

Y =   β ^ 0 + β ^ 1 X

Onde β ^ 0 ,   β ^ 1 são coeficientes estimados. E a fórmula para calcular esses coeficientes é a seguinte:

β ^ 1 = S x y S x x

β ^ 0 = y - - β ^ 1 x -

S x x =   ∑ i = 1 n x i 2 - ( ∑ i = 1 n x i ) ² n

S x y =   ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n

S y y =   ∑ i = 1 n y 2 i - ∑ i = 1 n y i 2 n

S S E =   ∑ i = 1 n y i 2 - β ^ 0 ∑ i = 1 n y i - β 1 ^ ∑ i = 1 n x i y 1

e i = y 1 =   y ^ i ,   i = 1 ,   n

r 2 = 1 - S S E S S T

Nesta tarefa temos duas amostras com tamanho amostral n = 14 . Agora os valores necessários para esta amostra são fornecidos abaixo

Os dados são fornecidos na tabela a seguir:

  1. Nesta subseção, precisamos obter a equação da reta de mínimos quadrados. Agora vamos usar a fórmula dada no início desta tarefa e agora precisamos encontrar os valores apropriados. Temos a seguir

    2. Como podemos ver no cálculo anterior, o modelo de previsão para esses dados é y ^ = 0.63 + 0.65 x

  2. Agora precisamos encontrar a previsão de BOD quando BOD for x = 35 e então encontraremos o erro de previsão:

    3. y ^ 35 = 0.63 + 0.65 x

    = 0.63 + 0.65 ∙ 35

    = 23.46

    e = 21 - 23.46

    = 2.46

    Passo 2

  3. Agora precisamos calcular SSE e então estimar σ . Temos a seguir

    4. Obtivemos que SSE é 449.77 e agora vamos usar isso para obter a estimativa de σ da seguinte forma:

  4. Agora precisamos encontrar a proporção da variação observada na remoção que pode ser explicada com este modelo. Essa proporção descreve o coeficiente de determinação r², então precisamos encontrar esse valor. Temos a seguir

    5. r 2 = 1 - S S E S S E

    = 1 - S S E S y y

    = 1 - 449.77 17454

    = 1 - 0.026

    = 0.974

    Como podemos ver cerca de 97% desses dados, podemos descrever com este modelo de previsão.

  5. Agora vamos repetir o procedimento anterior, vamos repetir excluindo os dois últimos valores. Agora o número de observações é 12 e a tabela com os dados é dada abaixo:

Agora precisamos calcular os valores necessários para repetir a análise sem os dois últimos valores para x e y. Nós seguindo:

Agora precisamos encontrar os valores médios para esses conjuntos de dados

Passo 2

Agora vamos obter a equação da reta de mínimos quadrados. Agora vamos usar a fórmula dada no início desta tarefa e agora precisamos encontrar os valores apropriados. Temos o seguinte:

Agora precisamos calcular SSE e então estimar σ . Temos a seguir

Obtemos que SSE é 311.791

Agora vamos usar isso para obter o coeficiente de determinação para ver a proporção de variação observada na remoção que pode ser explicada com este modelo. Temos o seguinte:

Como podemos ver com este modelo fixo, explicaremos cerca de 69% dos dados

Resposta

Respondemos a todas as perguntas nesta tarefa.

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