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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 11

Suponha que, em um determinado processo químico, o tempo de reação y (h) esteja relacionado com a temperatura (°F) na câmara em que a reação ocorre, de acordo com o modelo de regressão linear simples, com a equação y 5,00 – 0,0lx e 0,075. a. Qual é a mudança esperada no tempo de reação para um aumento de temperatura de l°F? Para um aumento de temperatura de 10°F? b. Qual é o tempo de reação esperado quando a temperatura é 200°F? Quando a temperatura é 250°F? c. Suponha que cinco observações sejam feitas independentemente do tempo de reação, cada uma para uma temperatura de 250°F. Qual é a probabilidade de os cinco tempos estarem entre 2,4 e 2,6 h? d. Qual é a probabilidade de que dois tempos de reação observados independentemente para temperaturas com 1° de diferença sejam tais que o tempo na temperatura mais alta ultrapasse o tempo na temperatura mais baixa?

Passo 1

A linha de regressão é

y = 5 - 0.01 ⋅ x

e σ = 0.075 é o desvio padrão conhecido

  1. Esperado alterado no tempo de reação em ºF. na temperatura é a inclinação da linha de regressão, e a inclinação é

    2. β 1 =   - 0.01

    Quando o tempo de reação aumenta em 10 ºF

    a mudança seria 10 ⋅ β 1 ; assim, quando aumenta em 10   º F a mudança no tempo de reação é

    10 β 1 = 10 - 0.01 = - 0.1

  2. O tempo de reação esperado quando a temperatura é 200   º F ,   μ Y 200 é

    3. μ Y 200 = 50 - 0.01 ∙ 200 = 3

    O tempo de reação esperado quando a temperatura é 250   º F ,   μ Y 200

    μ Y 250 = 50 - 0.01 ∙ 250 = 2.5

    Passo 2

  3. A probabilidade, porque o desvio padrão é dado, pode ser calculada padronizando a variável aleatória Y como

    4. P 2.4   ≤ Y ≤ 2.6 = P 2.4 - 2.5 0.075 ≤ Y - μ Y 250 σ ≤ 2.6 - 2.5 0.075

    = P - 1.33   ≤ Z ≤ 1.33

    = P Z ≤ 1.33 - P - 1.33 < Z

    = 0.8164

  4. Denote com Y 1 e   Y 2 temperaturas mais altas e mais baixas, respectivamente. A probabilidade necessária é

P Y 2 > Y 1   = P Y 2 - Y 1 > 0

Para padronizar a variável aleatória Y 2 –   Y 1 encontre o valor esperado e o desvio padrão. O valor esperado de Y 2 –   Y 1 é

E Y 2 - Y 1 = E Y 2 - E Y 1 = 5 - 0.01 x + 1 - 5 - 0.01 x

= - 0.01

A variância de Y 2 - Y 2 é

V Y 2 - Y 1 = V Y 2 + V Y 1 = 0.75 2 + 0.075 2 = 0.01125

Portanto, o desvio padrão é a raiz quadrada

σ Y 2 - Y 1 = 0.01125 = 0.10607

A probabilidade necessária agora se torna

P Y 2 - Y 2 > 0 = P Y 2 - Y 1 - E Y 2 - Y 1 σ Y 2 - Y 1 > 0 - - 0.01 0.10607

= P Z > 0.09 = 1 - P Z ≤ 0.09

= 0.4641

O valor de

P Z ≤ 0.09

pode ser encontrada na tabela em anexo

Resposta

  1. - 0.01 ;   - 0.1
  2. μ Y 200 = 3 ;   μ Y 250 = 2.5
  3. P 2.4   ≤     Y   ≤ 2.6 = 0.8164
  4. P Y 2 > Y 1 = 0.4641

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