Um fabricante de semicondutores retira uma amostra aleatória, de tamanho n, de chips, testando-os e classificando-os como defeituosos ou não defeituosos. Faça X 1 = 0, se o chip for não defeituoso e X 1 = 1, se o cheque for defeituoso. A fração defeituoso da amostra é.

Quais são a distribuição amostral e as estimativas da média amostral e da variância amostral de p ^ , quando

  1. o tamanho da amostra for n=50?
  2. O tamanho da amostra for n=80?
  3. O tamanho da amostra for n=100?
  4. Compare suas respostas para os itens a e c e comente o efeito do tamanho da amostra sobre a variância da distribuição amostral.

Passo 1

Um fabricante de dispositivos semicondutores obtém uma amostra aleatória de tamanho n dos chips e os testa, classificando cada chip como defeituoso ou não defeituoso.

Seja X i = 1 se o chip estiver com defeito e X i = 0 se o chip não estiver com defeito.

A fração da amostra com defeito é

p ̄ = X 1 + . . . + X n n

Modelar a ocorrência de defeituosos com a distribuição binomial é geralmente razoável quando o parâmetro binomial p representa a proporção de itens defeituosos produzidos.

Nós sabemos que a distribuição de amostragem de p é aproximadamente normal com média p   e variância p ( 1 - p ) / n , se p não for muito próximo de 0 ou 1 e se n é relativamente grande.

Portanto...

Passo 2

Letra a:

Para n = 50 , a média da amostra vai ser:

p ̄ = ∑ i = 1 50 X i 50 ,

E a variância da amostra vai ser:

σ ̄   2 = p ̄ ( 1 - p ̄ ) 50 .

Passo 3

Letra b:

Para n = 80 , a média da amostra vai ser:

p ̄ = ∑ i = 1 80 X i 80 ,

E a variância da amostra vai ser:

σ ̄   2 = p ̄ ( 1 - p ̄ ) 80 .

Passo 4

Letra c:

Para n = 100 , a média da amostra vai ser:

p ̄ = ∑ i = 1 100 X i 100 ,

E a variância da amostra vai ser:

σ ̄   2 = p ̄ ( 1 - p ̄ ) 100 .

Passo 5

Letra d:

Das partes a) - c), vemos que a variância da amostra é menor se o tamanho da amostra é maior.

Resposta

  1. p ̄ = ∑ i = 1 50 X i 50 , σ ̄   2 = p ̄ ( 1 - p ̄ ) 50 .
  2. p ̄ = ∑ i = 1 80 X i 80 , σ ̄   2 = p ̄ ( 1 - p ̄ ) 80 .
  3. p ̄ = ∑ i = 1 100 X i 100 , σ ̄   2 = p ̄ ( 1 - p ̄ ) 100 .
  4. Vemos que a variância da amostra é menor se o tamanho da amostra é maior.
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