De um grupo de n pessoas, deve-se escolher um comitê de tamanho j. Deste comitê, também será escolhido um subcomitê de tamanho i, i 5 j.

(a) Deduza uma identidade combinatória para calcular, de duas maneiras, o número de escolhas possíveis para o comitê e o subcomitê - inicialmente supondo que o comitê seja escolhido antes do subcomitê, e depois supondo que o subcomitê seja escolhido antes

do comitê.

(b) Use a letra (a) para demonstrar a seguinte identidade combinatória:

(c) Use a letra (a) e o Exercício Teórico 1.13 para mostrar que

Agora vamos escolher primeiramente as pessoas do subgrupo, dentre as pessoas e depois escolher as pessoas faltantes dentre as pessoas que ainda não foram escolhidas. Isto pode ser feito de:

Já que contamos a mesma coisa de duas formas diferentes, as respostas devem ser iguais.

b) Agora vamos demonstrar a igualdade:

Para provar isto vamos aplicar o somatório na identidade descoberta no item a:

Como o termo é constante, vamos colocá-lo fora do somatório.

Vamos fazer uma substituição de variável no somatório, de para :

Substituindo esta identidade na anterior:

Como queríamos provar.

c) Agora vamos provar a identidade:

Para isto vamos utilizar a mesma estratégia do item anterior, vamos manipular o resultado do item “a” para ficar igual a identidade pedida:

Multiplicando ambos os lados por :

Agora aplicando o somatório em ambos os lados:

Como o termo é constante, vamos colocá-lo fora do somatório:

Vamos fazer uma substituição de variável no somatório, de para :

Note que este somatório é o que aparece no teorema binomial para e :

Substituindo isto na identidade:

Assim provamos a identidade inicial.