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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Exercícios Teóricos - Ex. 10

De um grupo de n pessoas, suponha que queiramos escolher um comitê de k, k

(a) Mantendo o foco primeiro na escolha do comitê e então na escolha do presidente, mostre que há possíveis.

(b) Mantendo o foco primeiro na escolha dos membros do comitê que não serão escolhidos como presidente e então na escolha do presidente, mostre que há escolhas possíveis.

(c) Mantendo o foco primeiro na escolha do presidente e então na escolha dos demais membros do comitê, mostre que há n (E I ) escolhas possíveis.

(d) Conclua das letras (a), (b) e (c) que

(e) Use a definição fatorial de para verificar a identidade mostrada na letra (d).

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos entender um pouco mais sobre contagem.

a) Vamos escolher k pessoas dentre um grupo de n pessoas, isso pode ser feito de n k formas, esse numero binomial expresse exatamente esta ideia, podemos calcular isto pela equação:

n k = n ! n - k ! k !

Passo 2

E depois de escolhermos estas k pessoas, precisamos escolher quem delas será a presidente e temos k possibilidades para escolhermos este presidente. Então pelo Principio Fundamental da Contagem há n k k possibilidades de se fazer esta escolha.

Passo 3

b) Se formos pensar em escolher primeiro em escolher as k - 1 pessoas que não serão líder dentre as n pessoas ( há n k - 1 formas de se fazer isto ) e depois escolheremos 1 pessoa para ser a líder dentre todas as outras n - k - 1 = ( n - k + 1 ) pessoas e depois escolher isto pode ser feito de n - k + 1 1 = n - k + 1 formas.

Utilizando o PFC teríamos n k - 1 ( n - k + 1 ) formas de se fazer a escolha por este raciocínio.

Passo 4

c) Agora pensando em escolher primeiro 1 presidente entre as n pessoas, podemos fazer isto de n 1 = n formas e depois escolheremos as outras k - 1 pessoas que faltam entre as n - 1 pessoas restantes. Isto pode ser feito de n - 1 k - 1 formas.

Então pelo PFC neste raciocínio poderíamos formar esta comissão de n n - 1 k - 1 formas.

Passo 5

d) E como todos os raciocínios a cima contam o mesmo evento eles devem ser iguais pois a resposta é igual, então:

n k k = n k - 1 n - k + 1 = n n - 1 k - 1

Passo 6

e) Utilizando a definição de n k : n k = n ! n - k ! k !

Aplicando esta formula na equação do item d:

n p k = k n ! n - k ! k ! = k n ! n - k ! k k - 1 ! = n ! n - k ! k - 1 !

n k - 1 n - k + 1 = n ! n - k + 1 n - k ! k - 1 ! n - k + 1 = n ! n - k ! k - 1 !

n n - 1 k - 1 = n n - 1 ! n - k ! k - 1 ! = n ! n - k ! k - 1 !

Todos as expressões chegaram ao mesmo resultado, então elas são iguais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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