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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 60

Determine se as duas variáveis aleatórias do Exercício 3.43 são dependentes ou independentes.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. No Exercício 3.43 nos foi dada a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = 4 x y ,                 0 < x < 1 ,         0 < y < 1 0 ,                                                       c a s o   c o n t r á r i o

E as variáveis X e Y são independentes se respeitarem a igualdade abaixo:

f x ,   y = g x h ( y )

Valendo para todos os valores de x e y que as variáveis podem assumir.

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Calculando a distribuição marginal da variável aleatória X :

g x = ∫ y f ( x , y ) d y

= ∫ 0 1 4 x y d y

= 4 x y 2 2 0 1

                                                            g x = 2 x                           0 < x < 1

Calculando a distribuição marginal da variável aleatória Y :

g x = ∫ x f ( x , y ) d x

= ∫ 0 1 4 x y d y

= 4 x 2 y 2 0 1

                                                            g x = 2 y                           0 < y < 1

Verificando a identidade:

f x , y = 4 x y = 2 x 2 y = g x h ( y )

Então, podemos concluir que as variáveis são independentes.

Resposta

As variáveis são independentes.

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