O Torque requerido para remover parafusos e uma placa de aço é classificado como alto, moderado ou baixo. Historicamente, a probabilidade de uma classificação alta, moderada ou baixa é 0.6,0.3 ou 0.1, respectivamente. Suponha que 20 parafusos sejam avaliados e que as classificações doutor que seja independente.

1. Qual é a probabilidade de que 12,6h02 parafusos sejam classificados como alto, moderado e baixo, respectivamente?
2. Qual é a distribuição Marginal do número de parafusos classificados como baixar?
3. Qual é o número esperado de parafusos classificados como baixos?
4. Qual é a probabilidade de que o número de parafusos classificados como baixo seja maior do que dois?
5. Qual é a distribuição condicional do número de parafusos classificados como baixos, dado que 16 parafusos são classificados como alto?
6. qual é o número condicional esperado de parafusos classificados como baixo, dado que 16 parafusos são classificados como alto?
7. Os número de parafusos classificados como alto e baixo são variáveis aleatórias independentes?

Letra a:

A probabilidade de que 12, 6 e 2 parafusos são classificados como alta, moderada ou baixa, respectivamente é o seguinte:

Letra b:

A distribuição marginal do número de parafusos com classificação baixa, bem como a distribuição marginal do número de parafusos classificados como alto/moderado é uma Distribuição Binomial.

Aqui usamos o fato de que a distribuição marginal da distribuição multinomial é de fato uma Distribuição Binomial. Lembre-se que:

A distribuição binomial com os parâmetros n e é, para é:

Letra c:

O número esperado de parafusos com classificação baixa pode ser calculado a partir da definição da expectativa, mas há um resultado bem conhecido para a Distribuição Binomial, , que usaremos:

Letra d:

A probabilidade de que o número de parafusos com classificação baixa seja superior a dois é:

O evento {Z> 2} pode ser escrito como união de eventos disjuntos {Z = z},

Z tem distribuição binomial.

Letra e:

A distribuição condicional do número de parafusos com classificação baixa, dado que 16 parafusos com classificação alta podem ser calculados vai ser o seguinte. Para duas variáveis ​​aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional pode ser calculado como:

E o seguinte deve ser calculado para :

mas para a função de massa conjunta é zero, porque .

Observe que a função de massa conjunta da variável aleatória (X,Z) pode ser escrita usando a função de massa de probabilidade conjunta da variável aleatória (X, Y, Z), como:

o que é esperado desde que, por exemplo, tenha um valor para y de . Além disso, já mencionamos que a distribuição marginal da distribuição multinomial é a distribuição binomial, então Z tem uma distribuição binomial. Usando esses dois, obtemos:

Isso significa que a variável aleatória tem uma distribuição binomial com parâmetros em e . Note que a variável aleatória tem intervalo .

Letra f:

Para calcular o número esperado de parafusos com classificação baixa, dado que 16 parafusos são classificados como alto, usaremos o resultado que mencionamos antes:

Letra g:

Para que os números de parafusos classificados como alto e baixo sejam variáveis aleatórias independentes , a distribuição marginal de tem que ser igual à distribuição

da variável aleatória Z. Portanto,

o que obviamente não é verdade (ver distribuição de Z e .

Conclusão: as variáveis ​​aleatórias X e Z não são independentes.