Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 76
A porcentagem de pessoas que tomam o medicamento contra reumatismo, que só prefere colaterais severos, moderados ou menores, é igual a 10,20 e70%, respectivamente. Considere que as pessoas reagem de forma independente e 20 pessoas está o medicamento. Determine o seguinte:
- A probabilidade de 2,4 e 14 pessoas sofrerem efeitos colaterais severas, moderados e menores, respectivamente.
- A probidade ninguém sofrer efetivo atrás severas.
- A média variância do número de pessoas que sofreram efeitos colaterais severos.
- Qual é a distribuição de probidade condicionais do número de pessoas que sou perfeito e contras severas, dado que 19 só pra te poder as menores?
- Qual é a média condicional do número de pessoas que só pedir com outros deveres, dado que 19 sofrem efeitos colaterais menores?
Passo 1
Oi gente, vamos resolver essa questão aqui que é grande, mas calma, que não é tão difícil quanto parece!
A distribuição de probabilidade da variável aleatória (X, Y, Z) é uma distribuição multinomial:
com parâmetros
onde X, Y e Z são o número de pessoas que sofrem servos, moderados, ou efeitos colaterais menores, respectivamente.
Passo 2
Letra a:
A probabilidade de que 2, 4 e 14 pessoas irão sofrer efeitos colaterais severos, moderados ou menores, respectivamente é o seguinte:
Passo 3
Letra b:
A probabilidade de ninguém irá sofrer efeitos colaterais severos é:
Aqui usamos o fato de que a distribuição marginal da distribuição multinomial é de fato uma Distribuição Binomial. Lembre-se que:
A distribuição binomial com os parâmetros n e é, para é
Passo 4
Letra c:
A média e a variância do número de pessoas que irão sofrer efeitos colaterais severos pode ser calculado pelas definições.
A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma dos produtos de cada possibilidade na faixa de X com sua probabilidade :
é a variância da variável aleatória X definida como:
Nesse caso, já que sabemos que X segue a distribuição binomial e o fato de que a expectativa e as variações da distribuição binomial são amplamente conhecidas e então calculamos como:
Passo 5
Letra d:
A distribuição de probabilidade condicional do número de pessoas que sofrem efeitos colaterais severos, uma vez que 19 sofrem efeitos colaterais menores pode ser calculado
usando a seguinte expressão. Para duas variáveis aleatórias X e Z, a distribuição de probabilidade condicional pode ser calculado como:
O seguinte deve ser calculado para :
mas para a função de massa conjunta é zero, porque . Observe que a função de massa conjunta , de variável aleatória pode ser escrito usando a função de massa de probabilidade conjunta da variável aleatória (X, Y, Z), como:
o que é esperado desde que, por exemplo, tenha um valor para y de . Além disso, já mencionamos que a distribuição marginal da distribuição multinomial é a distribuição binomial, então Z tem uma distribuição binomial. Usando esses dois, obtemos:
Isso significa que a variável aleatória tem uma distribuição binomial com parâmetros em e . É fácil calcular e .
Passo 6
Letra e:
A média condicional do número de pessoas que sofrem efeitos colaterais severos dado que 19 sofrem efeitos colaterais menores é, pela definição acima: