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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 31

A integração por partes é requerida. A função densidade de probabilidade para o diâmetro, em milímetros, de um orifício é 10 e - 10 ( x - 5 ) para x > 5 mm. Embora o diâmetro-alvo seja 5 milímetros, vibrações, desgaste da ferramenta e outros inconvenientes produzem diâmetros maiores que 5mm.

  1. Determine a média e a variância do diâmetro dos orifícios.
  2. Determine a probabilidade de o diâmetro exceder 5.1 milímetros.

Passo 1

Seja a função de densidade de probabilidade f da variável aleatória X fornecida:

f ( x ) = 10 e - 10 ( x - 5 ) = 10 e 50 e - 10 x , x > 5

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

Passo 2

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede na letra a usando integral por partes:

E ( X ) = e 50 ∫ 5 ∞ 10 e - 10 x x d x = ( u =   - e - 10 x ,   v = x ) = e 50 ∫ v d u =

e 50 u v | x = ∞ x = 5 - ∫ u d v = 5 + e 50 ∫ 5 ∞ e - 10 x d x = 5 + 1 10 = 5.1

E ( X 2 ) = e 50 ∫ 5 ∞ 10 e - 10 x x 2 d x = ( u =   - e - 10 x ,   v = x 2 ) = e 50 ∫ v d u =

e 50 u v | x = ∞ x = 5 - ∫ u d v = 25 + e 50 ∫ 5 ∞ e - 10 x 2 x d x = 25 + 2 10 ∫ 2 ∞ 10 e - 10 ( x - 5 ) x d x =

25 + 2 10 E ( X ) = 25 + 1.02 = 26.02

V a r ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 = 26.02 - 5 . 1 2 = 0.01 ’

Passo 3

A probabilidade do diâmetro exceder 5.1mm é:

P ( X > 5.1 ) = e 50 ∫ 5.1 ∞ 10 e - 10 x d x = e 50 × e - 51 = e - 1 = 0.37

Resposta

  1. Média = 5.1, Variância = 0.01
  2. 0.37
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