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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 37

a) Um jogador tem uma moeda honesta e uma moeda com duas caras em seu bolso. Ele seleciona uma das moedas aleatoriamente; quando ele a joga, ela dá cara. Qual é a probabilidade de esta moeda ser a honesta?

(b) Suponha que ele jogue a mesma moeda uma segunda vez e, novamente, dê cara. Agora, qual é a probabilidade de esta moeda ser a honesta?

(c) Suponha que ele jogue a mesma moeda uma terceira vez e que agora dê coroa. Agora, qual é a probabilidade de esta moeda ser a honesta?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos identificar os eventos

F -   A   m o e d a   j u s t a   é   e s c o l h i d a

F C - A   m o e d a   d e   d u a s   c a r a s   é   e s c o l h i d a

H i -   i - é s i m o   l a n ç a m e n t o   d e   m o e d a   d á   c a r a

T i - i - é s i m o   l a n ç a m e n t o   d e   m o e d a   d á   c o r o a

Eis algumas probabilidades, desde que a moeda seja randomicamente escolhida

P F = P F C = 1 2

se observarmos o número de caras em cada moeda, nós temos as seguintes probabilidades

P H i F = 1 2     e   P T i F = 1 2

E

P H i F C = 1   e   P T i F C = 0

Nós temos que calcular as seguintes probabilidades

a )   P ( F | H 1 )

b )   P ( F | H 1 H 2 )

c )   P ( F | H 1 H 2 T 3 )

Passo 2

A – Como F   e F C são hipóteses concorrentes, vamos usar a fórmula de Bayes

P F H 1 = P H 1 F P F P H 1 F P F + P H 1 F C P ( F C )

Substituindo os valores, nós temos que

P F H 1 = 1 2 ∙ 1 2 1 2 ∙ 1 2 + 1 2 ∙ 1 = 1 4 1 4 + 1 2 = 1 4 3 4 = 1 3

Com isso, nós temos que

P F H 1 = 1 3

Passo 3

B – Para a letra b, a condição é H 1 H 2 , isso deixa as contas um pouco maiores, mas ainda vamos utilizar a fórmula de Bayes

P F H 1 H 2 = P H 1 H 2 F P F P F H 1 H 2 P F + P H 1 H 2 F C P ( F C )

Como H 1 e H 2 são condicionalmente independentes de F   ou F C , com isso nós temos que

P H 1 H 2 F = P H 1 F P H 2 F = 1 2 ∙ 1 2 = 1 4

Já para o caso do complementar, nós temos que

P H 1 H 2 F C = P H 1 F C P H 2 F = 1 ∙ 1 = 1

Substituindo todos os termos da equação, nós temos que

P F H 1 H 2 = 1 4 ∙ 1 2 1 4 ∙ 1 2 + 1 ∙ 1 2 = 1 5

O resultado é igual a

P F H 1 H 2 = 1 5

Passo 4

C – Mesma lógica para a letra c, entretanto, com a condição sendo H 1 H 2 T 3 , para isso, nós temos que

P F H 1 H 2 T 3 = P H 1 H 2 T 3 F P F P H 1 H 2 T 3 P F + P H 1 H 2 T 3 F C P F C

Fazendo a substituição, nós temos que

P F H 1 H 2 T 3 = 1 8 ∙ 1 2 1 8 ∙ 1 2 + 0 ∙ 1 2 = 1

O resultado é igual a

P F H 1 H 2 T 3 = 1

Resposta

a )   P F H 1 = 1 3

b )   P F H 1 H 2 = 1 5

c )   P F H 1 H 2 T 3 = 1

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