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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 118

Um programa computacional para detectar fraudes em cartões telefônicos dos consumidores rastreia, todo dia, o número de áreas metropolitanas onde as chamadas se originam. Sabe-se que 1 % dos usuários legítimos faz suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia. Entretanto, 30 % dos usuários fraudulentos fazem suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia. A proporção de usuários fraudulentos é de 0,01 % . Se o mesmo usuário fizer as suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia, qual será a probabilidade de o usuário ser fraudulento?

Passo 1

Vamos denotar os eventos A ,   B 1 e B 2 como:

A = Chamadas de duas ou áreas metropolitanas por dia

B 1 = Chamada recebida é de um usuário legítimo

B 2 = Chamada recebida é de um usuário fraudulento

As seguintes probabilidades são dadas:

P ( A | B 1 ) = 1 % = 0.1 ;

P ( A | B 2 ) = 30 % = 0.3 ;

P ( B 2 ) = 0.01 % = 0.0001 .

Passo 2

O evento de interesse é B 2 , desde que o evento A tenha acontecido. Isso é, a probabilidade de o usuário ser fraudulento, uma vez que está fazendo chamadas de duas ou áreas metropolitanas em um dia.

Aliás, falando sobre o teorema de Bayes, para A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n , eventos mutuamente exclusivos e U n i = 1 A i = Ω as probabilidades anteriores são P ( A i ) ,   i = 1,2 , . . . , n ) . Se B é um evento para o qual P ( B ) > 0 , então a probabilidade posterior de A , dado que B ocorreu é:

P ( A j | B ) = P ( A j ∩ B ) P ( B ) = P ( B | A j ) P ( A j ) ∑ i = 1 n P ( B | A i ) P ( A i ) ,   j = 1,2 , . . . , n .

Pelo Teorema de Bayes, como os eventos satisfazem todas as suposições, segue-se que a probabilidade do evento B 2 | A é:

P ( B 2 | A ) = P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) + P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) = 0.00298

Resposta

0.00298

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