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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 56

Suponha que você colecione cupons e que existam cupons de m tipos diferentes. Suponha também que cada vez que um novo cupom é recolhido, ele seja do tipo i com probabilidade p i , i = 1, ..., m. Suponha que você tenha conseguido seu n-ésimo cupom. Qual é a probabilidade de que ele seja de um novo tipo? Dica: Condicione no tipo deste cupom.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Os eventos são:

E i , j = O   i - é s i m o   c u p o m   c o l e t a d o   d o   t i p o   j ,     i ∈ N ,   j ∈ 1,2 , … ,   m

Como as probabilidades são constantes, o tipo do novo cupom é independente dos cupons anteriores, ou seja,

p i = P E k , i ,     p a r a   t o d o   k ∈ N

Nós vamos calcular P - a probabilidade de que o n-ésimo cupom coletado seja o primeiro desse tipo

Passo 2

Existem m eventos mutuamente exclusivos que satisfazem que o n-ésimo cupom coletado é o primeiro de seu tipo - que o n-ésimo cupom é do tipo 1 e nenhum cupom desse tipo é coletado até então, que o n-ésimo cupom é n° 2, e nenhum desses cupons é coletado até então, com isso, nós temos que

P =   ∑ i = 1 m P E 1 , i C E 2 , i C … E n - 1 , i C E n , i C

Vamos usar o seguinte, como essas probabilidades são de eventos independentes, logo serão probabilidades independentes, com isso, temos

P E 1 , i C E 2 , i C … E n - 1 , i C E n , i C = P E 1 , i C P E 2 . i C … P ( E n , i C )

A fórmula para a probabilidade de um complemento é dada da seguinte forma: P E C = 1 - P ( E ) . Portanto

P E 1 , i C P E 2 . i C … P E n , i C = 1 - p i n - 1 ∙ p i

Isto significa

P =   ∑ i = 1 m p i 1 - p i n - 1

Resposta

P =   ∑ i = 1 m p i 1 - p i n - 1

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