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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 37

O lucro de um revendedor, em unidades de $   5.000 , com um novo automóvel, é a variável aleatória X que tem a função de densidade dada no Exercício 4.12. Determine a variância de   X .

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Primeiro vamos relembrar a função densidade de probabilidade dada no exercício 4.12:

f x = { 2 ( 1 - x ) ,     0 < x < 1 ,   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o ,  

Relembrando o valor esperado da variável aleatória:

E X = ∫ - ∞ 0 0 x d x + ∫ 0 1 2 x 1 - x d x + ∫ 1 ∞ 0 x d x

Resolvendo:

E X = ∫ 0 1 2 x d x - ∫ 0 1 2 x 2 = 2 x 2 2 | 1 0 - 2 x 3 3 | 1 0 = 1 - 2 3 = 1 3

E também relembremos a fórmula de variância para uma variável aleatória contínua:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

Show! Agora só precisamos calcular E X 2

Passo 2

Calculando E X 2 :

E X 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2 f x d x

Vamos subdividir em três intervalos:

E X 2 = ∫ - ∞ 0 0 x 2 d x + ∫ 0 1 2 x 2 1 - x d x + ∫ 1 ∞ 0 x 2 d x

Logo:

E X 2 = ∫ 0 1 2 x 2 1 - x d x = ∫ 0 1 2 x 2 d x -   ∫ 0 1 2 x 3 d x

Resolvendo esta integral, chegaremos em:

E X 2 = 1 6

Passo 3

Agora podemos calcular a variância, voltando a expressão:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

Substituindo os valores:

σ 2 = 1 6 - 1 3 2 = 1 6 - 1 9 = 1 18

Portanto, no lucro real, a variância é:

1 18 5000 2 .

Tudo isso, lembrando que o lucro de um revendedor, em unidades de $   5.000 , com um novo automóvel, é a variável aleatória X

Resposta

σ 2 = 1 18 ,   l o g o   n o   l u c r o   r e a l ,   a   v a r i â n c i a   é   1 18 5000 2  

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