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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 38

A proporção de pessoas que respondem a certa solicitação de compras por catálogo é a variável aleatória X , tendo a função de densidade dada no Exercício 4.14. Determine a variância de   X .

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício. Vem comigo!

Primeiro vamos relembrar a função densidade de probabilidade dada no exercício 4.14:

f x = { 2 ( x + 2 ) 5 ,     0 < x < 1   0   ,     c a s o   c o n t r á r i o    

Vale lembrar, também, a fórmula para calcular a variância de uma variável aleatória:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

Show! Então precisamos calcular E ( X ) e E X 2 , e estará tudo resolvido.

Passo 2

Calculando E X :

Primeiro, vamos dividir em 3 integrais para ficar mais fácil de analisar f ( x ) e depois disso é só matemática, pega seu lápis e corre pro abraço!

E X = ∫ - ∞ 0 x f x d x + ∫ 0 1 x f x d x + ∫ 1 ∞ x f x d x

Analisando f ( x ) nos determinados intervalos, temos:

E X = ∫ - ∞ 0 0 x d x + ∫ 0 1 2 x ( x + 2 ) 5 d x + ∫ 1 ∞ 0 x d x = ∫ 0 1 2 x ( x + 2 ) 5 d x

Agora, precisamos resolver essa integralzinha, e tá tudo acabado!

E X = ∫ 0 1 2 x ( x + 2 ) 5 d x = 2 5 ∫ 0 1 x x + 2 d x = 2 5 ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 0 1 2 x d x

Calculando as integrais, concluímos em:

E X = 2 5 x 3 3 | 1 0 + 2 x 2 2 | 1 0 = 2 5 1 3 + 1 = 8 15

Passo 3

Fazendo o processo semelhante, podemos calcular E X 2 :

E X 2 = ∫ - ∞ 0 x 2 f x d x + ∫ 0 1 x 2 f x d x + ∫ 1 ∞ x 2 f x d x

Analisando f ( x ) nos determinados intervalos, temos:

E X 2 = ∫ - ∞ 0 0 x 2 d x + ∫ 0 1 2 x 2 ( x + 2 ) 5 d x + ∫ 1 ∞ 0 x 2 d x = ∫ 0 1 2 x 2 ( x + 2 ) 5 d x

Agora, precisamos resolver essa integralzinha, e tá tudo acabado!

E X 2 = ∫ 0 1 2 x 2 ( x + 2 ) 5 d x = 2 5 ∫ 0 1 x 2 x + 2 d x = 2 5 ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 2 x 2 d x

Calculando essas integrais, concluímos em:

E X 2 = 11 30

Passo 4

Agora é só voltar a nossa expressão original e substituir os valores:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

σ 2 = 11 30 - 8 15 2 = 37 450

Resposta

σ 2 = 37 450

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