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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 24

Em relação às variáveis aleatórias cuja distribuição de probabilidade conjunta é dada no Exercício 3.39,

(a) determine E ( X 2 Y   -   2 X Y ) ;

(b) determine μ x   e   μ y

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício.

Vamos resolver o item a), para isso relembremos a seguinte relação:

E g X , Y = ∑ x ∑ y g x , y f x , y

Desse modo:

E X 2 Y - 2 X Y = ∑ x = 0 3 ∑ y = 0 2 x 2 y - 2 x y f x , y

Do exercício 3.39, nós conseguimos descobrir f(x,y):

f x , y = 3 x 2 y 3 4 - x - y 8 4 ; x = 0,1 , 2,3   ; y = 0,1 , 2 ;     1 ≤ x + y ≤ 4

Voltando a nossa expressão:

E X 2 Y - 2 X Y = ∑ x = 0 3 ∑ y = 0 2 x 2 y - 2 x y

Agora basta substituir os respectivos x e y na nossa fórmula, assim chegamos em:

E X 2 Y - 2 X Y = 1 - 2 18 70 + 4 - 4 18 70 + … + 8 - 8 3 70 = - 3 7

Passo 2

Agora vamos ao item b)

Nesse item queremos determinar μ x   e   μ y

Vamos fazer uma tabela para x   e   g ( x ) e outra para y   e   h ( y ) .

Nesta primeira tabela estudamos x e a probabilidade de x assumir tal valor:

Nesta segunda tabela estudamos y e a probabilidade de y assumir tal valor:

Com essas duas tabelas em mãos podemos calcular μ x   e   μ y .

μ x = E X = 0 5 / 70 + 1 30 / 70 + 2 30 / 70 + 3 5 / 70 = 3 / 2

μ y = E Y = 0 15 / 70 + 1 40 / 70 + 2 15 / 70 = 1

Resposta

a) E X 2 Y - 2 X Y = - 3 7

b) μ x = E X = 3 2 e   μ y = E Y = 1

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