Enunciado
Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 12
Se o lucro de um revendedor, em unidades de $5.000, sobre um novo automóvel pode ser visto como a variável aleatória X, tendo função de densidade
Determine o lucro médio por automóvel.
Passo 1
Não sei vocês, mas sempre que vejo uma função dada por condições, como essa acima, eu me tremo todo! Mas vamos com calma, que com certeza, não passa de um sustinho de leves!
Vamos pensar um pouco.
O enunciado nos dá uma variável aleatória X, que é o lucro de um revendedor de carros em cima de unidades de $5.000, ao avaliar a função densidade de probabilidade, concluímos que esta variável é continua.
Hm! Função densidade de probabilidade, lucro médio... isso me lembra uma fórmula mágica.
Onde E(X) é o valor esperado da nossa variável aleatória X, opa! Isso parece ajudar, vamos definir cada termo e ver se conseguimos prosseguir!
Passo 2
Se definirmos a nossa variável aleatória X, como o lucro por automóvel vendido, uma correlação entre E(X) e o valor da venda nos dará exatamente o lucro médio por automóvel, para isso, basta multiplicar o valor obtido em E(X) e multiplicar pelo valor da venda, que é exatamente o pedido do enunciado.
Agora que temos isso definido, vamos integrar!
Agora, voltamos e analisamos a função função densidade de probabilidade, e concluímos que só assume valor diferente de 0 para .
Passo 3
Logo, ficamos com a seguinte expressão:
Resolvendo essa integral, separando a integral do meio em duas integrais, temos:
O lucro médio, portanto, é
Resposta
O lucro médio por venda de veículo é