Enunciado
Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 1
Suponha que duas variáveis aleatórias (X,Y) sejam uniformemente distribuídas num círculo de raio a. Então, a função de densidade de probabilidade conjunta é:
Determine o valor esperado de X, denotado por µX.
Passo 1
Fala galera, beleza?
Nada melhor que resolver um exercício, vamos nessa.
Primeiramente, em meio a esse caos, vamos definir o que queremos calcular, e procurar uma alternativa de fazê-lo. O exercício pede o valor esperado de X, que é uma variável aleatória e nos dá uma função densidade de probabilidade conjunta, então vamos correlacionar as duas coisas para facilitar a nossa vida.
Passo 2
Pela definição temos que para X e Y contínuas.
Vamos aplicar integral dupla no nosso exercício e estudar os limites de integração e ele está feito.
Nosso domínio é uma circunferência de raio a, centrada na origem, logo, teremos, algo do tipo:
Nesse caso, supondo a = 1.
Analisando a circunferência:
Fazendo x variar em função de y, temos:
Passo 3
Agora é só montar a integral e resolver.
Estamos com uma integral dupla, para resolvê-la integraremos duas vezes, uma em relação a dx e outra a dy. Primeiro, integremos em relação a dx:
Observando o que encontramos, vemos que o que está dentro dos colchetes é nulo, e como a integral de 0 é sempre zero, essa é também nossa resposta, 0.
Resposta
µX= E(X) = 0.