Suponha que duas variáveis aleatórias (X,Y) sejam uniformemente distribuídas num círculo de raio a. Então, a função de densidade de probabilidade conjunta é:

f x , y = 1 π a 2 ,   x 2 + y 2 ≤ a 2

    f ( x , y ) = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o .

Determine o valor esperado de X, denotado por µX.

Passo 1

Fala galera, beleza?

Nada melhor que resolver um exercício, vamos nessa.

Primeiramente, em meio a esse caos, vamos definir o que queremos calcular, e procurar uma alternativa de fazê-lo. O exercício pede o valor esperado de X, que é uma variável aleatória e nos dá uma função densidade de probabilidade conjunta, então vamos correlacionar as duas coisas para facilitar a nossa vida.

Passo 2

Pela definição temos que E g X , Y = ∬ - ∞ + ∞ g x , y d x d y para X e Y contínuas.

Vamos aplicar integral dupla no nosso exercício e estudar os limites de integração e ele está feito.

Nosso domínio é uma circunferência de raio a, centrada na origem, logo, teremos, algo do tipo:

Nesse caso, supondo a = 1.

Analisando a circunferência:

- a ≤ y ≤ a

Fazendo x variar em função de y, temos:

- a 2 - y 2 ≤ x ≤ a 2 - y 2

Passo 3

Agora é só montar a integral e resolver.

E X = 1 π a 2 ∫ - a a ∫ - a 2 - y 2 a 2 - y 2 x   d x d y

Estamos com uma integral dupla, para resolvê-la integraremos duas vezes, uma em relação a dx e outra a dy. Primeiro, integremos em relação a dx:

E X = 1 π a 2 a 2 - y 2 2 - a 2 - y 2 2 d y

Observando o que encontramos, vemos que o que está dentro dos colchetes é nulo, e como a integral de 0 é sempre zero, essa é também nossa resposta, 0.

Resposta

µX= E(X) = 0.

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