Enunciado
Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 55
(Meyer, 1965). O custo de realização de um experimento é $1.000,00. Se o experimento falha, um custo adicional de $300,00 tem de ser imposto. Se a probabilidade de sucesso em cada prova é 0,2, se as provas são independentes e continuadas até a ocorrência do primeiro sucesso, qual o custo esperado do experimento?
Passo 1
Primeio, precisamos saber qual é a distribuição que nós vamos usar. Reparem nessa frase “se as provas são independentes e continuadas até a ocorrência do primeiro sucesso”. De qual distribuição que estamos tratando?
Isso mesmo, GEOMÉTRICA!
Sabemos que a função de probabilidade de um distribuição geométrica é
O custo do experimento é $1.000, independente se dê certo ou errado, beleza? Agora, caso o experimente falhe tem um custo adicional de $300,00, como se fosse uma multa.
E o problema quer qual o custo esperado desse experimento, ok?
Passo 2
Conside:
= custo do experimento
= ocorrência do primeiro sucesso
Vamos começar calculando a esperança de . Sabemos que Logo,
Ou seja, em média, devemos realizar o experimento 5 vezes até que ele dê certo.
Vamos montar um esqueminha para a gente entender melhor?
Passo 3
Para cada experimento ser realizado, a gente paga $1.000,00. Portanto,
Só que quando ele falha, tem um adicional de $300,00. Logo,
Se nós somarmos, temos um total de $5000,00 para realizarmos os 5 experimentos, só que os 4 primeiros falham, logo temos mais um adicional de $1200,00 (4 X 300). Dessa forma,