Enunciado

(Meyer, 1965). O custo de realização de um experimento é $1.000,00. Se o experimento falha, um custo adicional de $300,00 tem de ser imposto. Se a probabilidade de sucesso em cada prova é 0,2, se as provas são independentes e continuadas até a ocorrência do primeiro sucesso, qual o custo esperado do experimento?

Passo 1

Primeio, precisamos saber qual é a distribuição que nós vamos usar. Reparem nessa frase “se as provas são independentes e continuadas até a ocorrência do primeiro sucesso”. De qual distribuição que estamos tratando?

Isso mesmo, GEOMÉTRICA!

Sabemos que a função de probabilidade de um distribuição geométrica é

P X = k = p . 1 - p k - 1

O custo do experimento é $1.000, independente se dê certo ou errado, beleza? Agora, caso o experimente falhe tem um custo adicional de $300,00, como se fosse uma multa.

E o problema quer qual o custo esperado desse experimento, ok?

Passo 2

Conside:

C = custo do experimento

X = ocorrência do primeiro sucesso

Vamos começar calculando a esperança de X . Sabemos que E X = 1 p   e   p = 0,2 . Logo,

E X = 1 p = 1 0,2 = 5   e x p e r i m e n t o s

Ou seja, em média, devemos realizar o experimento 5 vezes até que ele dê certo.

Vamos montar um esqueminha para a gente entender melhor?

Passo 3

Para cada experimento ser realizado, a gente paga $1.000,00. Portanto,

Só que quando ele falha, tem um adicional de $300,00. Logo,

Se nós somarmos, temos um total de $5000,00 para realizarmos os 5 experimentos, só que os 4 primeiros falham, logo temos mais um adicional de $1200,00 (4 X 300). Dessa forma,

E C = 5000 + 1200 = 6200

Resposta

E C = $ 6200,00

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