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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 53

Para o modelo quadrático do Exercício 12.51 (b),

dê estimativas das variâncias e covariâncias das estimativas de 0 j e 0 , 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Podemos obter as variâncias de b's através dos elementos da matriz inversa A - 1 = X ' X - 1 . A matriz, A - 1 além do multiplicador, σ 2 representa a matriz de variância-covariância dos coeficientes de regressão estimados. Ou seja, os elementos da matriz A - 1 σ 2 exibem as variâncias de b 1 , … , b k na diagonal principal e as variações de co na diagonal off-diagonal. Aqui a matriz A - 1 σ 2 é simétrica, portanto podemos escrever

σ b i 2 = c i i σ 2  for  i = 0,1 , 2 , … … … … k σ b , b = C o v ⁡ b i , b j = c i j σ 2 , i ≠ j

Passo 2

Para o problema os elementos da matriz inversa é

X ' X - 1 = 0.687007 - 0.154421 0.0073007 - 0.154421 0.047800 - 0.0025619 0.007301 - 0.002562 0.0001455

E a soma do erro do quadrado é

s 2 = S S E n - k - 1   = 4737834 11 = 430712.18

Passo 3

Agora vamos estimar a variância e covariância dos estimadores b 1 e b 2 . E usando a b = X ' X - 1 X ' y relação, os coeficientes de regressão estimados são b 0 = 1180 ,   b 1 = - 192 e b 2 = 35.2 Variância de b 1 :

σ b 1 2   = c 11 σ ˆ 2   = 0.047800 × 430712.18   = 20588.0422

Variância de b 2 :

σ b 2 2   = c 22 σ 2   = 0.0001455 × 430712   = 62.6686

Covariância

σ b 2 b 1   = C o v ⁡ b 1 ,   b 2   = c 21 σ 2   = - 0.0025619 × 430712.18   = - 1103.4415

Resposta

Resposta nos passos.

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