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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 57

Um modelo simplificado para a variação do preço de uma ação supõe que em cada dia o preço da ação suba 1 unidade com probabilidade p ou caia 1 unidade com probabilidade 1- p. Supõe-se que as variações nos diferentes dias sejam independentes.

(a) Qual é a probabilidade de que após 2 dias o preço da ação esteja em seu valor original?

(b) Qual é a probabilidade de que após 3 dias o preço da ação tenha subido uma 1 unidade?

(c) Dado que após 3 dias o preço da ação tenha subido 1 unidade, qual é a probabilidade de que ele tenha subido no primeiro dia?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, então primeiramente vamos identificar os eventos, que são

U i -   c a s o   a   a ç ã o   t e n h a   s u b i d o   n o   i - é s i m o   d i a

D i = U i C - c a s o   a   a ç ã o   t e n h a   d e s c i d o   n o   i - é s i m o   d i a

Se a probabilidade para ação subir 1 unidade é p, então para descer será 1 – p. Logo,

P U i = p → P ( D i ) = 1 - p

Passo 2

A - O evento cuja probabilidade é solicitada é a união de dois eventos, isso é o que a letra A nos pede, com isso nós temos a seguinte formulação

U 1 D 2 ∪ D 1 U 2

Os eventos são mutuamente exclusivos, portanto a probabilidade é:

P U 1 D 2 ∪ D 1 U 2 = P U 1 D 2 + P ( D 1 U 2 )

Aproveitando a independência dos eventos U 1 e U 2 , temos o produto das probabilidades

P U 1 P D 2 + P D 1 P ( U 2 )

Substituindo os valores, nós temos o seguinte resultado

P U 1 D 2 ∪ D 1 U 2 = p 1 - p + 1 - p p

Desenvolvendo este termo, temos o seguinte resultado

P U 1 D 2 ∪ D 1 U 2 = 2 p ( 1 - p )

Passo 3

B - O evento cuja probabilidade é solicitada é uma união de três eventos, dois dias em que o preço subiu e outro em que o preço desceu:

U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3

Os eventos são mutuamente exclusivos, portanto, a probabilidade é:

P U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 = P U 1 D 2 U 3 + P D 1 U 2 U 3 + P ( U 1 U 2 D 3 )

Desenvolvendo e usando a propriedade da multiplicação, nós temos que:

P U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 = P U 1 P D 2 P U 3 + P D 1 P U 2 P U 3 + P U 1 P U 2 P ( D 3 )

Substituindo os valores, nós temos que:

P U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 = p 2 1 - p + 1 - p p 2 + p 1 - p p

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 = 3 p 2 ( 1 - p )

Passo 4

C – Usando a definição de probabilidade condicional, nós temos que

P U 1 U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 = P U 1 ∩ U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 P U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3

Para o numerador, nós temos o seguinte:

U 1 ∩ U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 = U 1 U 2 D 3 + U 1 D 2 U 3

Com isso, já podemos calcular a probabilidade nesse caso, que é igual a

2 p 2 ( 1 - p )

Agora, podemos voltar a probabilidade condicional, substituindo os valores:

P U 1 U 1 D 2 U 3 ∪ D 1 U 2 U 3 ∪ U 1 U 2 D 3 = 2 p 2 1 - p 3 p 2 ( 1 - p ) = 2 3

Resposta

a )   2 p ( 1 - p )

b )   3 p 2 ( 1 - p )

c ) 2 3

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