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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 43

Há 3 moedas em uma caixa. Uma delas tem duas caras, outra é honesta e a terceira é uma moeda viciada que dá cara em 75% das vezes. Quando uma das 3 moedas é selecionada aleatoriamente e jogada, ela dá cara. Qual é a probabilidade de ela ser a moeda com duas caras?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeira coisa que deve ser feita é entender quais são os eventos, encare isso basicamente como um mantra, então já entendemos que o problema é sobre moedas e sorteio com o cara e coroa, então podemos definir os seguintes eventos

M 1 - A   m o e d a   c o m   d u a s   c a r a s   é   e s c o l h i d a

M 2 - A   m o e d a   j u s t a   é   e s c o l h i d a

M 3 - A   t e r c e i r a   m o e d a   é   e s c o l h i d a

H - O   s o r t e i o   r e s u l t a   e m   c a r a

Agora, vamos para as probabilidades, o primeiro ponto aqui é que uma vez que a moeda é escolhida, ela será produto de algo aleatório entre as três, então podemos concordar que elas têm a mesma probabilidade de ser escolhida, logo, como são três moedas, temos as seguintes probabilidades para este caso

P M 1 = P M 2 = P M 3 = 1 3

Passo 2

Aqui, nesse ponto, temos que saber as probabilidades das moedas resultarem em caras, o que nos dá uma ideia de condição (com isso, probabilidade) relacionada ao evento do sorteio resultar em cara, com isso, as probabilidades de que cada moeda dê cara após um lançamento são:

P H M 1 = 1

P H M 2 = 0,5

P H M 3 = 0,75

Esses valores serão de grande valia nos momentos seguintes dessa resolução. O problema nos dá a seguinte tarefa: a probabilidade de ser a moeda com duas caras. Então, podemos já pensar no seguinte, a condição para ser duas caras é que o evento tenha que sair cara, logo, a probabilidade condicional para esse caso será desse jeito aqui:

P ( M 1 | H )

Essa é a probabilidade que teremos que calcular! 😊

Passo 3

Com M 1 ,   M 2 e M 3 como hipóteses concorrentes (elas são mutuamente exclusivas e sua união cobre todo o espaço de resultados), vamos usar a fórmula de Bayes

P M 1 H = P H M 1 P M 1 P H M 1 P M 1 + P H M 2 P M 2 + P H M 3 P ( M 3 )

O lado bom disso tudo é que já temos as probabilidades do lado direito da fórmula, com isso, só temos que substituir os termos

P M 1 H = 1 ∙ 1 3 1 ∙ 1 3 + 0,5 ∙ 1 3 + 0,75 ∙ 1 3 = 4 9

Portanto, a probabilidade de ser a moeda de duas caras é igual a 4 9

Resposta

4 9

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