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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 24

Uma moeda é jogada 400 vezes. Use a aproximação pela curva normal para determinar a probabilidade de obter

(a) entre 185 e 210 caras, inclusive;

(b) exatamente 205 caras;

(c) menos de 176 ou mais de 227 caras.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Primeiro, vamos organizar as informações do enunciado.

O número de jogadas é n = 400 .

Nós vamos considerar cara como sucesso, então, a probabilidade de sucesso é p = 0,5 .

Usaremos X para representar o número de caras.

Sendo assim, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 400 e p = 0,5 .

A média da distribuição binomial é:

μ = n p = 400 0,5 = 200

E o desvio padrão é definido por:

σ = n p 1 - p = 400 0,5 1 - 0,5 = 10

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Primeiro, temos que encontrar z para definir a probabilidade de ter entre 185 e 210 caras.

z 1 = x 1 - μ σ = 184,5 - 200 10 = - 1,55

z 2 = x 2 - μ σ = 210,5 - 200 10 = 1,05

Portanto, a probabilidade é:

P 185 ≤ X ≤ 210 = ∑ x = 185 210 b x ; 400 ,   0,5

= P 184,5 ≤ X ≤ 210,5

= P - 1,55 ≤ Z ≤ 1,05

= 0,8531 - 0,0606

P 185 ≤ X ≤ 210 = 0,7925

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter exatamente 205 caras. Encontra z :

z 1 = x 1 - μ σ = 204,5 - 200 10 = 0,45

z 2 = x 2 - μ σ = 20 5,5 - 200 10 = 0 , 55

Sendo assim, a probabilidade é dada por:

P X = 205 = b 205 ; 400 ,   0,5

= P ( 0,45 ≤ Z ≤ 0,55 )

= P Z ≤ 0,55 - P Z ≤ 0,45

= 0,7088 - 0 , 6736

P X = 205 = 0,0352

Passo 4

Por fim, queremos a probabilidade de ser menos de 176 ou mais de 227 caras.

Antes de encontrarmos essa probabilidade, vamos achar a probabilidade de estar entre 176 e 227 caras.

z 1 = x 1 - μ σ = 175,5 - 200 10 = - 2,45

z 2 = x 2 - μ σ = 2 27 , 5 - 200 10 = 2,75

Portanto, a probabilidade de estar entre esses números é:

P 176 ≤ X ≤ 227 = ∑ x = 176 2 27 b x ; 400 ,   0,5

= P - 2,45 ≤ Z ≤ 2,75

= P Z ≤ 2,75 - P Z ≤ - 2,45

= 0,997 - 0,0071

P 176 ≤ X ≤ 227 = 0,9899

Agora, com a definição de complemento, podemos encontrar a probabilidade solicitada.

P X < 176 + P X > 227 = 1 - P 176 ≤ X ≤ 227

= 1 - 0,9899

P X < 176 + P X > 227 = 0,0101

Resposta

(a) 0,7925

(b) 0,0352

(c) 0,0101

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