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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 28

a) mostre a desigualdade de Cauchy-Schwarz, dado por:

E X Y 2 ≤ E X 2   E [ Y 2 ]

b) se X   e   Y são variáveis aleatórias quaisquer:

F X , Y x , y ≤ F X x . F Y ( y )

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para determinar:

a) mostre a desigualdade de Cauchy-Schwarz, dado por:

E X Y 2 ≤ E X 2   E [ Y 2 ]

b) se X   e   Y são variáveis aleatórias quaisquer:

F X , Y x , y ≤ F X x . F Y ( y )

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera essa questão ela é bem objetiva e na letra (a) ele pede para mostrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz que é determinado peal fórmula,

E X Y 2 ≤ E X 2   E [ Y 2 ]

Sabendo que,

E t x + y 2 ≥ 0 ,   ∀ t ∈ R

Vamos ter que,

E x y = E x E ( y )

Sendo suas densidades marginais representadas por,

E x y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y   F x , y   d x d y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y   F x x   F y y   d x d y = E x   E ( y )

Logo como, E t x + y 2 ≥ 0 , vamos ter

E y x = t = μ 2 + ρ σ 2 σ 1 ( x - μ 1 )

Já na letra (b) para X   e   Y sendo variáveis aleatórias quaisquer com,

F X , Y x , y ≤ F X x . F Y ( y )

Temos que,

F x , y = P [ X ≤ x ,   Y ≤ y ]

Com variáveis de - ∞ < x < ∞     e   - ∞ < y < ∞ ficando,

F x , y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f u , v   d u d v

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) E y x = t = μ 2 + ρ σ 2 σ 1 ( x - μ 1 )

b) F x , y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f u , v   d u d v

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