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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 21

Mostre que Γ 1 2 = π .

Dica: Γ 1 2 = ∫ 0 ∞ e - x x - 1 / 2 d x . Faça a mudança de variáveis y = 2 x e então relacione a expressão resultante com a distribuição normal.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para provarmos a igualdade, vamos começar pegando a parte esquerda dela:

Γ 1 2 = ∫ 0 ∞ e - x x - 1 / 2 d x

Além disso, vamos fazer a substituição que é dada na dica para a gente:

y = 2 x → x = y 2 2

d x = y d y

Substituindo tudo:

Γ 1 2 = ∫ 0 ∞ e - y 2 2 y 2 2 - 1 / 2 y d y

Γ 1 2 = 2 2 ∫ 0 ∞ e - y 2 2 d y

Γ 1 2 = π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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