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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 3

Mostre que o estimador P ’ do Exercício 9.2(b) se

torna não viciado quando n —> oo.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Se X é uma variável aleatória binomial, então mostramos que P ' se torna imparcial como n → ∞ . Dado que P ' = X + n / 2 n + n

Passo 2

agora tomamos as expectativas de ambos os lados,

E P ' = E X + n / 2 n + n   = E X n + n + n / 2 n + n   = E X n + n + E n / 2 n + n   = 1 n + n ⋅ E [ X ] + n / 2 n + n   [   Usando ,  E [ a X + b ] = a E [ X ] + b ]   = 1 n + n ⋅ n p + n / 2 n + n   = n p + n / 2 n + n   = p + 1 / 2 n 1 + 1 / n

Assim n → ∞ , 1 n → 0 como 1 n → 0 .

E P '   = p + ( 1 / 2 ) ( 0 ) 1 + ( 0 )   = p

Portanto, P ' é imparcial estimador de p como n → ∞ .

Resposta

Resposta nos passos.

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