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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 95

Mostre que se X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X p forem variáveis aleatoriamente independentes e Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3 + . . . + c p X p

V ( Y ) = c 2 1 V ( X 1 ) + c 2 2 V ( X 2 ) + . . . + c 2 p V ( X p )

Você pode considerar que as variáveis aleatórias sejam continuas.

Passo 1

Dado que X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X p são variáveis ​​aleatórias independentes e Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3 + . . . + c p X p

Vamos mostrar isso

V ( Y ) = c 2 1 V ( X 1 ) + c 2 2 V ( X 2 ) + . . . + c 2 p V ( X p )

Primeiro, vamos encontrar a variância da função linear

V ( Y ) = c 2 1 V ( X 1 ) + c 2 2 V ( X 2 ) + . . . + c 2 p V ( X p ) + 2 ∑ i < j ∑ c i c j C o v ( X i , X j )

Aqui X i e X j são independentes e ( i ≠ j ) isso significa que o termo de covariância vai embora. Torna-se zero.

Passo 2

Conseqüentemente,

C o v ( X i , X j ) = E ( X i X j ) - E ( X i ) E ( X j ) = 0

Porque os X i são independentes

Portanto, se substituirmos o termo de covariância, nós temos:

V ( Y ) = c 2 1 V ( X 1 ) + c 2 2 V ( X 2 ) + . . . + c 2 p V ( X p ) + 2 ∑ i < j ∑ c i c j C o v ( 0 )

= c 2 1 V ( X 1 ) + c 2 2 V ( X 2 ) + . . . + c 2 p V ( X p )

Resposta

V ( Y ) = c 2 1 V ( X 1 ) + c 2 2 V ( X 2 ) + . . . + c 2 p V ( X p )

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