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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 74

A variável aleatória X tem uma distribuição de probabilidades:

f X ( x ) = x 8 ,   0 ≤ x ≤ 4

Encontre a distribuição de probabilidades de Y=(X-2)^2

Passo 1

A distribuição de probabilidade de X é:

f X ( x ) = x 8 ,   0 ≤ x ≤ 4

Vamos encontrar a distribuição de probabilidade de Y = ( X - 2 ) 2

Vamos dividir o intervalo x ∈ [ 0,4 ] em duas partes: x 1 ∈ [ 0,2 ] e x 2 ∈ [ 2,4 ] para que a transformação possa ser de um para um

x 1 = 2 - y

x 2 = 2 + y

Passo 2

Primeiro vamos calcular o Jacobiano das transformações:

J 1 = d x 1 d y =   - 1 2 y

J 2 = d x 2 d y = - 1 2 y

A distribuição de probabilidade de Y é:

f r ( y ) = f x ( 2 - y ) | J 1 | + f x ( 2 + y ) | J 2 |

= 1 4 y ,   0 ≤ y ≤ 4

Resposta

= 1 4 y ,   0 ≤ y ≤ 4

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