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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 24

Mostre que um gráfico de l o g ⁡ ( log ⁡ 1 - F x - 1 ) em função de log x é uma linha reta com inclinação β quando F(.) é uma função distribuição de Weibull. Mostre também que aproximadamente 63,2% de todas as observações dessa distribuição são menores que α. Suponha que v = 0.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos, primeiro vamos destacar aqui a fórmula da distribuição de Weibull:

F x = 1 - e x p - x - v α β     x > v 0                   x ≤ v

Logo,

1 - F x = 1 - 1 + e x p - x - v α β = e x p - x - v α β

Beleza, agora vamos continuar os procedimentos:

( 1 - F x ) - 1 = e x p - x - v α β - 1 = 1 e x p - x - v α β

( 1 - F x ) - 1 = e x p x - v α β

Ok, mas por que fizemos isso até agora? Por que agora vamos jogar no nosso log que é dado lá no enunciado l o g ⁡ ( log ⁡ 1 - F x - 1 ) . Vamos começar pelo log de dentro:

log ⁡ 1 - F x - 1 = log ⁡ e x p x - v α β

log ⁡ 1 - F x - 1 = x - v α β

Ok, agora jogando dentro do log mais externo:

log ⁡ log ⁡ 1 - F x - 1 = log ⁡ x - v α β

log ⁡ log ⁡ 1 - F x - 1 = β log ⁡ x - v α

Show. No enunciado, ele pede para assumirmos que v = 0 , então:

log ⁡ log ⁡ 1 - F x - 1 = β log ⁡ x α

log ⁡ log ⁡ 1 - F x - 1 = β ( log ⁡ x - log ⁡ α )

log ⁡ log ⁡ 1 - F x - 1 = ( β log ⁡ x - β log ⁡ α )

Vamos agora dizer que - β log ⁡ α = A , então:

log ⁡ log ⁡ 1 - F x - 1 = A + β log ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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