Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 28
Considere a distribuição beta com parâmetros (a, b). Mostre que
(a) quando , a densidade é unimodal (isto é, ela tem um único modo) com modo igual a (a - 1)/(1 + b - 2);
(b) quando , a densidade é unimodal com modo em 0 ou 1 ou tem forma de U com modos em 0 e 1;
(c) quando , todos os pontos em são modos.
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).
Antes, vamos ver aqui a fórmula que usaremos:
Quando derivamos, vamos achar:
Para se tornar mais prático as próximas contas, vamos isolar e :
Agora precisamos achar os pontos críticos da nossa derivada, então:
Pegando a parte da direita, vamos verificar que:
Passo 2
Beleza, agora vamos para a letra (b). Se nós tivermos :
Dessa forma, quando derivamos:
Então é uma função estritamente crescente em . Portanto, tem máximo em .
Agora, quando usamos , a função se torna:
Dessa forma, quando derivamos:
Então para . Ou seja, é uma função estritamente decrescente em , portanto tem máximo em .
Passo 3
Agora vamos para a letra (c). Quando , uma vez que , vamos achar:
Ou seja, a função é constante em todos os pontos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)