Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 32
Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes que têm a mesma probabilidade, cada uma delas, de assumir qualquer valor , onde N é muito grande. Suponha que D represente o maior divisor comum de X e Y, e também que .
(a) Forneça um argumento heurístico para . Dica: Note que, para que D seja igual a k, k deve ser um divisor de X e Y. Além disso, devem ser relativamente primos (isto é, devem ter um maior divisor comum igual a 1).
(b) Use a letra (a) para mostrar que
É sabido que , então (na teoria dos números, este é conhecido como o teorema de Legendre).
(c) Mostre agora que
Onde é o i-ésimo menor número primo maior que 1.
Dica: X e Y serão relativamente primos se eles não tiverem fatores primos em comum. Portanto, da letra (b), vemos que
que foi observado mas não explicado no Problema 11 do Capítulo 4 (a relação entre este problema e o Problema 11 do Capítulo 4 é que X e Y são relativamente primos se XY não tiver fatores primos múltiplos).
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começar pela letra (a).
A probabilidade de k dividir X é , e a probabilidade de k dividir Y é , pois X,Y são independentes, a probabilidade de que k divida X e Y é .
Dado que k divide X e Y, e que N é enorme, a probabilidade que X e Y sejam relativamente primos também é .
Isso estabelece .
Passo 2
Beleza, agora vamos para a letra (b).
Seja , então
Quando a gente reorganiza, temos que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)