Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes que têm a mesma probabilidade, cada uma delas, de assumir qualquer valor 1,2 , … , ( 10 ) N , onde N é muito grande. Suponha que D represente o maior divisor comum de X e Y, e também que Q k = P D = k .(a) Forneça um argumento heurístico para Q k = ( 1 k 2 ) Q 1 . Dica: Note que, para que D seja igual a k, k deve ser um divisor de X e Y. Além disso, X / keY / k devem ser relativamente primos (isto é, X / keY / k devem ter um maior divisor comum igual a 1).(b) Use a letra (a) para mostrar que Q 1 = P XeYs e j a mr e l a t i v a m e n t ep r i m o s = 1 ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 É sabido que ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 / 6 , então Q 1 = 6 π 2 (na teoria dos números, este é conhecido como o teorema de Legendre).(c) Mostre agora que Q 1 = ∏ i = 1 ∞ P i 2 - 1 P i 2 Onde P i é o i-ésimo menor número primo maior que 1. Dica: X e Y serão relativamente primos se eles não tiverem fatores primos em comum. Portanto, da letra (b), vemos que ∏ i = 1 ∞ P i 2 - 1 P i 2 = 6 π 2 que foi observado mas não explicado no Problema 11 do Capítulo 4 (a relação entre este problema e o Problema 11 do Capítulo 4 é que X e Y são relativamente primos se XY não tiver fatores primos múltiplos).

Enunciado

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começar pela letra (a).

A probabilidade de k dividir X é , e a probabilidade de k dividir Y é , pois X,Y são independentes, a probabilidade de que k divida X e Y é .

Dado que k divide X e Y, e que N é enorme, a probabilidade que X e Y sejam relativamente primos também é .

Isso estabelece .

Beleza, agora vamos para a letra (b).

Seja , então

Quando a gente reorganiza, temos que:

Ei, a resposta está no passo a passo :)