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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 20

Para qualquer número real y, defina y + como

y + = y ,       s e   y ≥ 0 0 ,       s e   y < 0

Seja c uma constante.

(a) Mostre que

E ( Z - c ) + = 1 2 π e - c 2 / 2 - c ( 1 - Φ c )

Quando Z é uma variável aleatória normal padrão.

(b) Determine E ( X - c ) + quando X é normal com média μ e variância σ².

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá, começando pela letra (a).

Para mostrarmos, vamos começar pegando a parte esquerda da igualdade:

E ( Z - c ) + = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ ( x - c ) + e - x 2 / 2 d x

E ( Z - c ) + = 1 2 π ∫ c ∞ ( x - c ) e - x 2 / 2 d x

Aqui podemos separar as integrais em duas:

E ( Z - c ) + = 1 2 π ∫ c ∞ x e - x 2 / 2 d x - 1 2 π ∫ c ∞ c e - x 2 / 2 d x

Beleza, separadas, vamos calcular cada uma individualmente.

Passo 2

Vamos começar pela primeira integral:

1 2 π ∫ c ∞ x e - x 2 / 2 d x

Vamos dizer que:

t = x 2 2 → d t = x d x

Substituindo:

1 2 π ∫ c ∞ x e - x 2 / 2 d x = 1 2 π ∫ c ∞ e - t d t

1 2 π ∫ c ∞ x e - x 2 / 2 d x = 1 2 π e - e 2 / 2

Jogando na integral achada no Passo 1:

E ( Z - c ) + = 1 2 π ∫ c ∞ x e - x 2 / 2 d x - 1 2 π ∫ c ∞ c e - x 2 / 2 d x

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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