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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 32

Mostre que:

a) E (X Y,Y = y) = y . E ( X | Y = y ) .

b) E [g (X , Y),Y = y] = E [g (X , y),Y = y] .

c) E (X Y) = E [Y . E (X,Y)] .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para mostrar que:

a) E (X Y,Y = y) = y . E ( X | Y = y ) .

b) E [g (X , Y),Y = y] = E [g (X , y),Y = y] .

c) E (X Y) = E [Y . E (X,Y)] .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Antes de determinar aos valores mencionados nas opções devemos saber que para as esperanças dadas fica,

E (Y,X = x) = sum_y y P |Y = y| X = x ]

Onde a soma é estendida a todos os valores de Y

Utilizando esses termos em todo os itens das opções dados vamos ficar com a definição em cada opção como,

Na letra (a) dada a equação,

E (X Y,Y = y) = y . E ( X | Y = y )

Temos,

E (X Y) = E ( X |Y| = y )

Na letra (b) temos,

E [g (X , Y),Y = y] = E [g (X , y),Y = y]

Vamos ficar com,

E [ g (X , Y) ] = E [ y ]

E por fim na letra ( c ) para,

E (X Y) = E [Y . E (X,Y)]

Temos,

E (X Y) = 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) E (X Y) = E ( X |Y| = y )

b) E [ g (X , Y) ] = E [ y ]

c) E (X Y) = 1

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