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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 9

Admite-se que cada pneu dianteiro de um determinado tipo de veículo deve ter a pressão de 26 psi. Suponha que a pressão real em cada pneu seja uma variável aleatória X para o pneu direito e Y para o esquerdo, com fdp conjunta

f x , y = K x 2 + y 2                         20 ≤ x ≤ 30 ,       20 ≤ y ≤ 30 0                                                                                     c a s o   c o n t r á r i o

a. Qual é o valor de K?

b. Qual é a probabilidade de os dois pneus estarem com pressão inferior à ideal?

c. Qual é a probabilidade de a diferença de pressão de ar entre os dois pneus ser no máximo 2 psi?

d. Determine a distribuição (marginal) da pressão de ar só do pneu direito.

e. X e Y são vas independentes?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? A função de densidade de probabilidade conjunta é:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x d y = 1

Para cada conjunto adequado A valo o seguinte:

P X , Y ∈ A = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

Sendo assim, bora fazer os cálculos!!!

Passo 2

Achando o valor de K com a equação do Passo 1.

Os limites são 20 ≤ x ≤ 30 ,       20 ≤ y ≤ 30 .

∫ 20 30 ∫ 20 30 K ( x 2 + y 2 ) d x d y = 1

20 K ∙ 19000 3 = 1

K = 3 380000

Passo 3

Para a letra (b) o limite é de 26 psi, portanto, queremos a seguinte probabilidade:

P X < 26   e   Y < 26 = P X ,   Y ∈ A = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

= ∫ 2 0 26 ∫ 20 26 K ( x 2 + y 2 ) d x d y

P X < 26   e   Y < 26 = 0,3024

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade do seguinte evento:

X - Y ≤ 2

Logo, temos o seguinte:

P X - Y ≤ 2 = ∫ ∫ I I f ( x ,   y ) d x d y

= 1 - ∫ 20 28 ∫ x + 2 30 f ( x ,   y ) d y d x - ∫ 22 30 ∫ 20 x - 2 f ( x ,   y ) d y d x

= 1 - I 1 - I 2

P X - Y ≤ 2 = 0,3594

Passo 5

Usando a equação do pmf, encontramos:

f X x = ∫ 20 30 K x 2 + y 2 d y

= 10 ∙ K x 2 + 0,05

Com 20 ≤ x ≤ 30

f X x = 0

Passo 6

Por fim, para definirmos se duas variáveis são independentes, a seguinte relação tem que ser verdadeira.

f x , y = f X ( x ) ∙ f Y ( y )

No nosso exemplo temos os seguintes valores:

f x ,   y = K ( x 2 + y 2 )

f X x ∙ f Y y = ( 10 ∙ K x 2 + 0,05 ) ∙ ( 10 ∙ K y 2 + 0,05 )

Como não são iguais, as variáveis são dependentes.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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