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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 3

Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjuntas.

Determine o seguinte:

f) a distribuição de probabilidade de marginais da variável aleatória X.

g) A distribuição de probabilidades condicionais Y, dado que X = 1.

h) A distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y = 1.

i) E ( x | y = 1 )

j) X e Y são independentes?

Passo 1

Uma função de massa de probabilidade conjunta válida deve satisfazer:

∑ x ∑ y f x y ( x , y ) = 1

Se X e Y forem variáveis ​​aleatórias discretas.

∑ x ∑ y f x y ( x , y ) = 1 4 + 1 8 + 1 4 + 1 4 + 1 8 = 1

Passo 2

Letra a:

Vamos encontrar a probabilidade de que X

P ( X < 0.5 ,   Y < 1.5 ) = P ( X =   - 0.5 ,   Y =   - 1 ) + P ( X =   - 1 ,   Y =   - 2 )

f X Y ( - 0.5 , - 1 ) + f X Y ( - 1 , - 2 )

= 1 4 + 1 8

= 3 8

Passo 3

Letra b:

Vamos determinar a probabilidade de que X

P ( X < 0.5 ) = P ( X =   - 0.5 ,   Y =   - 1 ) + P ( X =   - 1 ,   Y =   - 2 )

f X Y ( - 0.5 , - 1 ) + f X Y ( - 1 , - 2 )

= 1 4 + 1 8

= 3 8

Passo 4

Letra c:

Vamos encontrar a probabilidade de que Y

P ( Y < 1.5 ) = P ( X = 0.5 ,   Y = 1 ) + P ( X =   - 0.5 ,   Y =   - 1 ) + P ( X =   - 1 ,   Y =   - 2 )

f X Y ( - 0.5,1 ) + f X Y ( - 0.5 , - 1 ) + f X Y ( - 1 , - 2 )

= 1 2 + 1 4 + 1 8

= 7 8

Passo 5

Letra d:

Vamos calcular a probabilidade de que X > 0.25 e Y

P ( X > 0.25 ,   Y < 4.5 ) = P ( X = 0.5 ,   Y = 1 ) + P ( X = 1 ,   Y = 2 )

f X Y ( 0.5,1 ) + f X Y ( 1,2 )

= 1 2 + 1 8

= 5 8

Passo 6

Letra e:

Vamos encontrar E ( X ) ,   E ( Y ) ,   V ( X )   e V ( Y )

Porque os valores de X são diferentes, a função de probabilidade marginal de X é igual à função de probabilidade conjunta.

A média de X será:

E ( X ) = ∑ x x f x ( x )

=   - 1 × 1 8 + ( - 0.5 ) × 1 4 + 0.5 × 1 2 + 1 × 1 8

= 1 8

Porque os valores de Y são diferentes, a função de probabilidade marginal de Y é igual à função de probabilidade conjunta.

A média de Y será:

E ( Y ) = ∑ y y f y ( y )

=   - 2 × 1 8 + ( - 1 ) × 1 4 + 1 × 1 2 + 2 × 1 8

= 1 4

Vamos encontrar a variância de X:

V ( X ) = ∑ x x 2 f x ( x ) - E 2 ( X )

= ( - 1 ) 2 × 1 8 + ( - 0 . 5 ) 2 × 1 4 + 0.5 2 × 1 2 + 1 2 × 1 8 - 1 8 2

= 27 64

Vamos encontrar a variância de Y:

V ( Y ) = ∑ y y 2 f y ( y ) - E 2 ( Y )

= ( - 2 ) 2 × 1 8 + ( - 1 ) 2 × 1 4 + 1 2 × 1 2 + 2 2 × 1 8 - 1 4 2

= 27 16

Passo 7

Letra f:

A distribuição de probabilidade marginal de X é

Passo 8

Letra g:

Vamos calcular a distribuição de probabilidade condicional de Y, dado que X = 1

f ( 2 ) = f y | 1 ( 2 ) = f x y ( 1,2 ) f x ( 1 ) = 1 8 3 8 = 1

Passo 9

Letra h:

Vamos encontrar a distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = 1:

f ( 0.5 ) = f x | 1 ( 1 ) = f x y ( 0.5,1 ) f y ( 1 ) = 1 2 1 2 = 1

Passo 10

Letra i:

A média condicional de X, dado que Y = 1

E ( X | Y = 1 ) = ∑ x x f X | Y = 1 ( x ) =

= 0.5

Passo 11

Letra j:

Vamos descobrir se as variáveis ​​aleatórias X e Y são independentes:

f x y ( x , y ) = P ( X = - 1 , Y = - 2 ) = 1 8

f x ( x ) f y ( y ) = P ( X = - 1 ) P ( Y = - 2 ) = 1 8 1 8 = 1 64

1 8 ≄ 1 64

Portanto, as variáveis ​​aleatórias X e Y não são independentes.

Resposta

  1. 3 8
  2. 3 8
  3. 7 8
  4. 5 8
  5. E ( X ) = 1 8 , E ( Y ) = 1 4 , V ( X ) = 27 64 , V ( Y ) = 27 46
  7. 1
  8. 1
  9. 0.5
  10. As variáveis ​​aleatórias X e Y não são independentes.
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