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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 27

Dos n,estudantes de engenharia selecionados aleatoriamente do ASU.X,possuiam caleuladora HP e dos n,estudantes de engenharia selecionados aleatoriamente do Instituto Tecnolgico de Virginia Virginia Tech)X.possuiam calculadora HP.Sejamp,c Pas probabilidades de que estudantes de engenharia de ASUede Virginia,selecionados alcatoriamente,possuam caleuladoras HP.respectivamente.

  1. Mostre que uma estimativa nao-tendenciosa paraPi-P:e(X/m) Xn).
  2. Qual eo erro-padrao da estimativa pontual do item(a)?
  3. Como voce calcularia uma estimativa pontual do erro-padrao calculado no item(b)?
  4. Suponha quem. Use os resultados do item(a)para calcular uma estimativa de p,-P.
  5. Use os resultados dos itens(b)a(d)para calcular uma estimativa do crro-padriio da estimativa.

Passo 1

Letra a:

X 1 e X 2 contam o número de sucessos entre uma amostra e, portanto, X 1 e X 2 têm uma distribuição binomial.

O valor esperado (ou média) de uma distribuição binomial é o produto do tamanho da amostra e a probabilidade de sucesso:

E X 1 = n 1 p 1 E X 2 = n 2 p 2

X 1 n 1 - X 2 n 2 é um estimador imparcial para p 1 - p 2 se o valor esperado de   X 1 n 1 - X 2 n 2 é p 1 - p 2 :

E X 1 n 1 - X 2 n 2 = E X 1 n 1 - E X 2 n 2 = E X 1 n 1 - E X 2 n 2 = n 1 p 1 n 1 - n 2 p 2 n 2 = p 1 - p 2

Então, X 1 n 1 - X 2 n 2 é um estimador imparcial para p 1 - p 2 .

Passo 2

Letra b:

O desvio padrão de uma distribuição binomial é a raiz quadrada do produto do tamanho da amostra n e as probabilidades p e q. A variância é o quadrado do desvio padrão:

D P X 1 = n 1 p 1 q 1 = n 1 p 1 1 - p 1 D P X 2 = n 2 p 2 q 2 = n 2 p 2 1 - p 2 V X 1 = n 1 p 1 q 1 = n 1 p 1 1 - p 1 V X 2 = n 2 p 2 q 2 = n 2 p 2 1 - p 2

Determine o desvio padrão de X 1 n 1 - X 2 n 2

D P X 1 n 1 + X 2 n 2 = V X 1 n 1 + X 2 n 2 = V X 1 n 1 + V X 2 n 2 = V X 1 n 1 2 + V X 2 n 2 2 = n 1 p 1 1 - p 1 n 1 2 + n 2 p 2 1 - p 2 n 2 2 = p 1 1 - p 1 n 1 + p 2 1 - p 2 n 2

O desvio padrão da estimativa   X 1 n 1 - X 2 n 2 é também chamado de erro padrão.

Passo 3

Letra c:

Estimaríamos p 1 pela proporção da amostra p ^ 1 :

p ^ 1 = X 1 n 1

Estimaríamos p 2 pela proporção da amostra   p ^ 2 :

p ^ 2 = X 2 n 2

Substitua p 1 e p 2 na fórmula da parte (b) por estas expressões:

E P ≈ X 1 / n 1 1 - X 1 / n 1 n 1 + X 2 / n 2 1 - X 2 / n 2 n 2

Passo 4

Letra d:

Dados

X 1 = 150 n 1 = 200 X 2 = 185 n 2 = 2500

Vamos determinar o valor da estimativa pontual dada na parte (a):

X 1 n 1 - X 2 n 2 = 150 200 - 185 250 = 750 1000 - 740 1000 = 10 1000 = 1 100 = 0.01

Passo 5

Letra e:

Vamos avaliar a fórmula na parte (c) para os valores conhecidos:

E P ≈ 150 / 200 ( 1 - 150 / 200 ) 200 + 185 / 250 ( 1 - 185 / 250 ) 250 ≈ 0.0413

Resposta

  1. Ver resposta
  2. E P p 1 - p 2 = p 1 1 - p 1 n 1 + p 2 1 - p 2 n 2
  3. E P ≈ X 1 / n 1 1 - X 1 / n 1 n 1 + X 2 / n 2 1 - X 2 / n 2 n 2
  4. 0.01
  5. 0.0413
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