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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 39

O número total de horas, em unidades de cem horas, que uma família utiliza o aspirador de pó no período de um ano é a variável aleatória X, tendo a função de densidade dada no Exercício 4.15. Determine a variância de X.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Nesse exercício queremos a variância de X , para isso relembremos a seguinte relação:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

Logo, precisamos calcular E ( X ) e E X 2 , mas para isso vamos relembrar a função densidade de probabilidade dada no exercício 4.15:

f x = { x ,     0 < x < 1   2 - x ,     1 ≤ x < 2   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o .  

Show! Com tudo isso enunciado podemos seguir e resolver o exercício.

Passo 2

Vamos calcular E ( X ) :

E X = ∫ - ∞ 0 0 x d x + ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x ( 2 - x ) d x + ∫ 2 ∞ 0 x d x = ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x ( 2 - x ) d x

Agora vamos resolver as integrais obtidas anteriormente.

E X = x 3 3 | 1 0 + x 2 - x 3 3 | 2 1 = 1 3 + 2 3 = 1

Passo 3

E agora, vamos calcular E X 2 , de maneira semelhante:

E X 2 = ∫ - ∞ 0 0 x 2 d x + ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 x 2 ( 2 - x ) d x + ∫ 2 ∞ 0 x d x = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 x 2 ( 2 - x ) d x

Agora vamos resolver as integrais obtidas anteriormente.

E X 2 = x 4 4 | 1 0 + 2 x 3 3 - x 4 4 | 2 1 = 7 6

Passo 4

Agora vamos voltar a expressão da variância e substituir os valores:

σ 2 = E X 2 - E ( X ) 2

Substituindo:

σ 2 = 7 6 - 1 2 = 1 6

Resposta

σ 2 = 1 6

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