Enunciado

No Exercício 3.27, a função de densidade é dada para o tempo até a falha de um importante componente de um aparelho de DVD. Determine o número médio de horas até a falha do componente e, em consequência, do DVD.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Primeiro vamos relembrar a função densidade de probabilidade dada no exercício 3.27

f x = { 1 2000 e x p ⁡ - x 2000 ,     x ≥ 0   0 ,     x < 0  

Show! Com isso em mente, podemos resolver o nosso exercício.

Passo 2

Lembremos que:

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x d x

Vamos quebrar essa integral em duas, e substituir os valores, desse modo:

E X = ∫ - ∞ 0 x 0 d x + ∫ 0 ∞ x 1 2000 e x p e x p   - x 2000 d x   = ∫ 0 ∞ x 1 2000 e x p e x p   - x 2000 d x  

Vamos resolver por intermédio da substituição, aplicando:

y = x 2000   e   d y = 1 2000 d x

E X = ∫ 0 ∞ x 1 2000 e x p e x p   - x 2000 d x   = 2000 ∫ 0 ∞ y e x p e x p   - y d y  

Por fim, resolvendo essa integral ficamos com:

E X = 2000

Resposta

E X = 2000

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