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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios propostos - Ex. 7

Uma organização de testes, desejando avaliar uma marca particular de rádio, seleciona aleatoriamente uma amostra de 5 desses rádios do estoque, e classifica a marca de satisfatória se não existir qualquer rádio defeituoso nessa amostra. Sabendo-se que 10% dos rádios produzidos são realmente defeituosos, calcular a probabilidade de que:

  1. A marca venha ser considerada insatisfatória, numa certa amostra;
  2. No máximo uma amostra, de um grupo de 6 amostras desses rádios, venha a ser considerada satisfatória;
  3. Duas amostras, daquele grupo de 6 amostras, tenham no mínimo 2 rádios defeituosos por amostra.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Bora exercitar a mente com mais um exercício?

De acordo com o conceito de Distribuição Binominal:

Seja uma experiência aleatória que pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada prova: realização de um evento E (quando dizemos que houve sucesso), ou a não realização desse evento E (quando dizemos que houve insucesso). Suponhamos que essas n provas sejam independentes e que, em cada prova, as probabilidades de obter sucesso (p) e de obter insucesso (q) sejam constantes. Portanto:

P ( E ) = p

P ( E - ) = q = 1 - p

Consideramos agora o número de vezes (X) em que o evento E ocorre nas n provas independentes e então o número de vezes em que o evento E   (não ocorre E) será ( n - X ) . Considerando X como variável aleatória, temos então definida a distribuição Binomial.

Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucesso é:

P ( x )   =     C n , x ⋅ p x   ⋅ ( 1 - p ) n - x  

No item a) temos que:

  • X ≥ 1  
  • p   =   10 %   =   0,01
  • n   =   5

Lembremos, da Análise Combinatória, que:

  C n , x =   n ! x ! ( n - x ) !

Portanto:

P x ≥ 1 = 1 -   P ( x = 0 )

P x ≥ 1 = 1 - 5 ! 0 ! 5 - 0 ! ⋅   0,1 0 ⋅   1 - 0,1 5 - 0 = 0 , 41 = 41 %

Passo 2

No item b) temos que:

  • X   ≤   1  
  • p   =   1   –   0,41   =   0,59 (pois 41% é a probabilidade da marca ser insatisfatória, portanto 59% é a probabilidade de ser satisfatória
  • n   =   6

P x ≤ 1 = P x = 0 +   P ( x = 1 )

P x ≤ 1 = 6 ! 0 ! ( 6 - 0 ) ! ⋅   0,59 0   ⋅   ( 1 - 0,59 ) 6 - 0 + 6 ! 1 ! ( 6 - 1 ) ! ⋅   0,59 1   ⋅   ( 1 - 0,59 ) 6 - 1 = 4,6 %  

Passo 3

No item c) precisamos primeiramente saber qual a probabilidade de terem no mínimo dois rádios defeituosos por amostra: P ( X ≥ 2 )

P X ≥ 2 = 1 - P X ≤ 1 = 1 - P X = 0 - P X = 1

P X ≥ 2 =   1 - 5 ! 0 ! 5 - 0 ! ⋅   0,1 0   ⋅   1 - 0,10 5 - 0 - 5 ! 1 ! 5 - 1 ! ⋅   0,1 01   ⋅   1 - 0,10 5 - 1

P X ≥ 2 = 1 - 0,59 - 0,33 = 0,08

Agora precisamos calcular a probabilidade de duas amostras daquele grupo de 6 amostras terem no mínimo dois rádios defeituosos por amostra:

  • n   =   6
  • x   =   2
  • p   =   0,08

P x ≥ 2 = P x = 2 +   P x = 3 +   P ( x = 4 )

P x = 2 = 6 ! 2 ! ( 6 - 2 ) ! ⋅   0,08 2   ⋅   ( 1 - 0,08 ) 6 - 2 = 0,07 = 7 %

É isso pessoal, espero que tenham conseguido resolver e que eu tenha ajudado. Até a próxima.

Resposta

  1. 41%
  2. 4,6%
  3. 7%

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