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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 1.Exercícios propostos - Ex. 18

A probabilidade de um indivíduo da classe rica comprar um carro da marca X é 1/10, da classe média é 3/5 e da classe pobre é 3/10. Sabe-se que 3/4 dos indivíduos da classe rica compram carro, 1/6 da classe média e 1/12 da classe pobre. Numa certa agência foi vendido um carro X; qual a probabilidade deste ter sido comprado por cada um dos três grupos citados?

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá relembrar um pouco da teoria de probabilidade.

Para este exercício iremos utilizar o Teorema de Bayes, porque os n eventos E 1 , E 2 ⋯ E n constituem uma partição do espaço amostral S (isto é, eles são dois a dois mutuamente exclusivos e tais que o evento soma dê o próprio espaço amostral):

P ( E i / X ) = P ( E i ) ∙ P ( X / E i ) ∑ P ( E i ) ∙ P ( X / E i )

Onde:

  • P E i > 0 ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   n );
  • X evento que só pode ocorrer como efeito de uma das causas mutuamente exclusivas E i .

Pelo enunciado temos, a probabilidade de cada classe comprar o carro X e quantos efetivamente compram, sendo assim temos:

  • E 1 evento da classe rica comprar o carro X:

    • P E 1 = 1 10 = 0,10 → P ( X / E 1 ) = 3 4

  • E 2 evento da classe média comprar o carro X:

    • P E 2 = 3 5 = 0,60 → P ( X / E 2 ) = 1 6

  • E 3 evento da classe pobre comprar o carro X:

    • P E 3 = 3 10 = 0,30 → P ( X / E 3 ) = 1 12

    Passo 2

    A probabilidade de um carro da marca X ser comprado por cada uma das classes (rica, média, pobre) é:

  • Para a classe rica:

    • P ( E 1 / X ) = P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) + P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) + P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 )

    P ( E 1 / X ) = 0,10 ∙ ( 3 / 4 ) 0,10 ∙ ( 3 / 4 ) + 0,60 ∙ ( 1 / 6 ) + 0,30 ∙ ( 1 / 12 ) ∙ 100 % = 37,5 %

    Passo 3

  • Para a classe média:

    • P ( E 2 / X ) = P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) + P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) + P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 )

    P ( E 2 / X ) = 0,60 ∙ ( 1 / 6 ) 0,10 ∙ ( 3 / 4 ) + 0,60 ∙ ( 1 / 6 ) + 0,30 ∙ ( 1 / 12 ) ∙ 100 % = 50,0 %

    Passo 4

  • Para a classe pobre:

P ( E 3 / X ) = P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 ) P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) + P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) + P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 )

P ( E 3 / X ) = 0,30 ∙ ( 1 / 12 ) 0,10 ∙ ( 3 / 4 ) + 0,60 ∙ ( 1 / 6 ) + 0,30 ∙ ( 1 / 12 ) ∙ 100 % = 12,5 %

Esse exercício acabou pessoal. Até o próximo! Tchau.

Resposta

A probabilidade de ter sido comprado por cada um dos grupos é:

  • Classe rica = 37,5 % ;
  • Classe média = 5 0,0 % ;
  • Classe pobre = 12,5 % .

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