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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 28

As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança, depois de beber, são de 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se decidirem guiar até em casa, depois de beber numa festa, qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo?

Passo 1

Vamos começar dando nomes aos bois para nos organizarmos melhor, sejam os eventos:

A : P r i m e i r o   m o t o r i s t a   n ã o   s o f r e   a c i d e n t e

B : S e g u n d o   m o t o r i s t a   n ã o   s o f r e   a c i d e n t e

C : T e r c e i r o   m o t o r i s t a   n ã o   s o f r e   a c i d e n t e

No enunciado é falado que as probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança, ou seja, não sofrer acidente depois de beber, são de 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente logo:

P A = 1 3 ,   P B = 1 4 ,   P C = 1 5

Beleza?

Passo 2

Primeiramente, queremos a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes.

Vamos pensar somente no envento A e levar a ideia para B e C .

Se a probabilidade do primeiro motorista NÃO sofrer acidente é de 1 3 , a probabilidade dele sofrer acidente é 1 - 1 3 = 2 3 , certo? Escrevemos mais bonitinho, temos:

P A c = 2 3

Pronto! Só usarmos o mesmo racicionio para os eventos B e C , assim obtemos:

P B c = 1 - 1 4 = 3 4

P C c = 1 - 1 5 = 4 5

Supondo que esses eventos sejam independetes. Se todos vão sofrer acidente, queremos a probabilidade de A e B e C, ou seja, queremos a interseção entre eles, calculando:

P t o d o s   s o f r e r e m   a c i d e n t e s = P ( A ∩ B ∩ C ) , mas pela independência, P A ∩ B ∩ C = P A P B ( C ) , certo? Logo

P A ∩ B ∩ C = P A P B P C = 2 3 3 4 4 5 = 2 5 = 0,40

Passo 3

Para martamos de vez a questão, agora precisamos calcular a probabilidade de pelo menos um deles não sofrer acidente.

Vamos lá. Pelo menos 1, é no mínimo 1, certo? Então, pode ser 1, 2 ou 3.

Podemos calcular cada probabilidade separada e somar, né? Mas vamos usar um macete para economizarmos tempo. 😉

Qual é a única situação que não se encaixa no nosso problema? Aquela em que todos sofrem acidentes, e nós acabamos de calculá-la.

Logo, seja E o evento de todos os três sofrerem acidente. Então, pelo menos um não sofrer acidente é E c .

Sabemos que P E = P A ∩ B ∩ C = 2 5 = 0,40 .

Portanto

P E c = 1 - P E = 1 - 2 5 = 3 5 = 0,60

Executamos mais uma! VAPO!!!

Resposta

0,40   e   0,60

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