Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 33
Temos 20 mil reais que devem ser aplicados entre 4 carteiras diferentes. Cada aplicação deve ser feita em múltiplos de mil reais, e os investimentos mínimos que podem ser feitos são de 2, 2, 3 e 4 mil reais. Quantas estratégias de aplicação diferentes existem se
(a) uma aplicação tiver que ser feita em cada carteira?
(b) aplicações tiverem que ser feitas em pelo menos 3 das quatro carteiras?
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos aprender a investir utilizando matemática.
Temos 20 mil reais e 4 lugares para distribuir eles, com sendo que a nossa unidade será “mil reais” em cada aplicação.
Então podemos pensar que temos 20 dinheiros para distribuir em 4 lugares com restrição de valor mínimo.
Passo 2
Vamos pensar que a quantidade de dinheiro investido em cada carteira é uma variável e como temos no máximo 20 dinheiros a soma de todos estes investimentos tem que ser 20:
a) Em tese poderíamos contar todas as soluções desta equação para encontrar a quantidade de estratégias diferentes.
Mas tem a restrição de mínimo de investimento em cada carteira. Como temos que aplicar em todas elas, e isto não é uma escolha, podemos já remover os dinheiros dos nossos 20 dinheiros iniciais. Assim restaria:
Agora sim! É só descobrir o número de soluções não negativas desta equação.
Passo 3
Assim como mostra a alegoria do livro podemos pensar que cada variável é um espaço entre barrinhas e que temos bolinhas para colocar entre estes espaços. Por exemplo a solução , ,, seria representado por:
E todas as outras soluções são permutações desta representação. Vamos utilizar a formula de permutação com repetição:
Então há 220 modos de investir em todas as carteiras.
Passo 4
b) Se tivermos que investir no mínimo em 3 carteiras, na pratica ou investiremos em 3 carteiras ou em 4 carteiras. Já calculamos quantas possibilidades há para 4 carteiras então só falta quantas possibilidades existem para 3 carteiras.
Podemos investir em ou em ou em ou em e temos que calcular cada uma destas possibilidades para somar no final e descobrirmos quantas possibilidades há no total.
Quando investimos em temos que remover o investimento inicial dos dinheiros, , então:
Neste caso teriam 2 separadores e 13 bolinhas, totalizando 13 objetos para permutarmos:
Quando investirmos teríamos , então:
Quando investirmos teríamos , então:
Quando investimos em temos que remover o investimento inicial dos 20 dinheiros, , então:
Passo 5
Seguindo o princípio aditivo vamos somar todas as possibilidades:
Resposta
Para investirmos em todas as empresas teremos possibilidades.
E quando investimos em pelo menos três carteiras teremos possibilidades.