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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 38

Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em dez válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas; caso contrário, o lote todo é rejeitado.

(a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?

(b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o critério acima?

Passo 1

Bora lá?

O fabricante afirma que apenas 5% das válvulas têm duração inferior a 20 horas. Ou seja, a probabilidade de uma válvula durar menos de 20 horas é 5%. Pensando no complementar, podemos afirmar que a probabilidade de uma válvula durar mais de 20 horas é 95%, beleza?

O enunciado diz que para uma indústria aceitar o lote deve ter NO MÁXIMO uma válvula com duração inferior a 20 horas, isto significa que:

- Podemos ter nenhuma

- Podemos ter uma

Concordam que a probabilidade de um lote ser rejeitado é a probabilidade complementar dele ser aceito? Ou seja

P r e j e i t a d o = 1 - P a c e i t o

Então, vamos calcular a probabilidade dele ser aceito 😉

Passo 2

1°) Evento A: Nenhuma válvula com duração inferior a 20 horas.

P A = 0,95 10

Passo 3

2°) Evento B: Uma válvula com duração inferior a 20 horas.

Bom, temos um total de 10 válvulas e apenas uma com duração inferior a 20 horas, precisamos decidir qual delas será a defeituosa, como a ordem não importa podemos usar combinação

10 1 = 10

E calculando a probabilidade disso ocorrer:

10 . 0,05 1 . 0,95 9

Passo 4

Assim podemos falar que:

P a c e i t o = 0,95 10 + 10 . 0,05 . 0,95 9 = 0,914

Então, a probabilidade do lote ser rejeitado é:

P r e j e i t a d o = 1 - P a c e i t o = 1 - 0,914 = 0,086

Passo 5

(b) Agora, vamos mudar as probabilidades

- Válvula com duração inferior a 20 horas: 10%

-Válvula com duração superior a 20 horas: 90%

A probabilidade de um lote ser aceito será a mesma expressão já usada, trocando apenas os valores:

P a c e i t o = 0,90 10 + 10 . 0,1 . 0,9 9 = 0,736

Resposta

a   0,086

b   0,736

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