Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 32
Um elevador parte do subsolo com 8 pessoas (não incluindo o ascensorista) e as deixa todas juntas ao chegar no último piso, no sexto andar. De quantas maneiras poderia o ascensorista perceber as pessoas deixando o elevador se todas elas parecessem iguais para ele?
E se as 8 pessoas correspondessem a 5 homens e 3 mulheres, e o ascensorista pudesse diferenciar um homem de uma mulher?
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos tentar tirar as pessoas do elevador.
Neste caso temos 8 pessoas para distribuir pelos 6 andares. Já que todas elas parecem iguais podemos representar o número de pessoas por andar por uma variável.
As variáveis representam o número de pessoas que desceram no -ésimo andar. Como temos 8 pessoas no total a soma .
Então para encontrarmos quantas formas temos de fazer isto basta calcularmos o numero de soluções não negativas desta equação.
Passo 2
Assim como mostra a alegoria do livro podemos pensar que cada variável é um espaço entre barrinhas e que temos bolinhas para colocar entre estes espaços. Por exemplo a solução , ,,, , seria representado por:
E todas as outras soluções são permutações desta representação. Vamos utilizar a formula de permutação com repetição:
Passo 3
No caso que tem mulheres e homens vamos fazer o mesmo cálculo da anterior, mas um só pra homens e outro para mulheres:
A equação dos homens é:
Seguindo a mesma analogia das barras e pontos teríamos 5 separadores e 5 pontos, então será
E a equação das mulheres é:
Seguindo a mesma analogia das barras e pontos teríamos 5 separadores e 3 pontos, então será
Como são dois eventos simultâneos pelo PFC vamos multiplicar as possibilidades de cada um para achar os totais:
Resposta
Para 8 pessoas iguais teremos possibilidades.
E quando é dividido entre homens e mulher teremos possibilidades.