Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 21
O Problema da Eleição. Em uma eleição, o candidato A recebe n votos e o candidato B recebe m votos, onde n > m. Assumindo que todas as
ordens de votos sejam igualmente prováveis, suponha que represente a probabilidade de que A sempre esteja a frente na contagem dos votos.
(a) Calcule .
(b) Determine .
(c) Com base nos resultados que você obteve nas letras (a) e (b), faça conjecturas a respeito do valor de .
(d) Deduza uma fórmula recursiva para em termos de e condicionando em quem recebe o último voto.
(e) Use a letra (d) para verificar sua conjectura da letra (c) usando uma prova de indução em n + m.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Para este problema, nos é dito que o candidato A recebe n votos e o candidato B recebe m votos onde assumimos que n > m. Vamos representar cada voto sequencial por uma sequência de A's e B's. O número de sequências AB é dado por
Vamos supor que todas as sequências são igualmente prováveis. Seja E(n,m) o evento A está sempre à frente na contagem de votos e a probabilidade dos eventos.
(a)
Para calcular temos que a única sequência de votos em que A sempre lidera é AAB, assim:
Para calcular temos que apenas em duas sequências de votos A sempre lidera {AAAB, AABA} assim:
Para calcular temos que apenas em duas sequências de votos A sempre lidera {AAABB, AABAB} assim:
Para calcular temos que apenas em três sequências de votos A sempre lidera {AAAAB, AABAA, AAABA} assim:
Para calcular temos que apenas em cinco sequências de votos A sempre lidera {AAAABB, AAABAB, AAABBA, AABAAB, AABABA} assim:
Para calcular temos que apenas em cinco sequências de votos A sempre lidera {AAAABBB, AAABABB, AAABBAB, AABAABB, AABABAB} assim:
Passo 2
(b) Para , note que da equação existem n + 1 sequências. Cada sequência tem um voto para B. Cada uma dessas sequências começa com os caracteres AA, AB ou B. Observe que as sequências que começam com B ou AB não terão A liderando em votos o tempo todo, enquanto para as sequências que começam com AA o número de votos A será sempre maior do que o número de votos para B em pelo menos 1. O número de sequências começando com AA (já que especificamos que os dois primeiros votos são para A temos n + 1 - 2 votos ainda colocar) é
Então
Para , observe que existem sequências de A e B's e cada sequência terá dois B's. Todas as nossas sequências começam com AAA, AABA, AABB, AB ou B. As únicas dessas sequências em que A lidera para todas as contagens são AAA e AABA. Assim precisamos contar o número de sequências começando com cada um desses prefixos.
O número de sequências começando com AAA (já que agora temos n + 2 - 3 votos para distribuir) é:
O número de sequências começando com AABA (já que agora temos n + 2 - 4 votos para distribuir) é:
Assim, o total de sequências com A liderando é dado pela soma dessas duas possibilidades, ou seja:
Então
(c) Observando o padrão entre temos que, generalizando para m:
Passo 3
(d) Para escrever em termos de devemos condicionar o resultado do último voto, que pode ser de A ou B.
Teremos que
Passo 4
(e) Considerando o resultado obtido em (c)
E definindo para , temos:
Aplicando tal expressão no resultado de (d) temos que:
Desenvolvendo tal expressão, temos que:
Que é justamente a mesma fórmula proposta em (c), como queríamos demonstrar.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Veja a demonstração.