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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 127

O produtor de certo tipo de componente eletrônico despacha os produtos para seus clientes em lotes de 20. Suponha que 60% de todos os lotes enviados não contenham componentes com defeitos, 30% contenham um componente com defeito e 10% contenham dois componentes com defeito. Um lote é selecionado e dois componentes deste lote são escolhidos aleatoriamente e testados, e nenhum deles apresenta defeitos.

(a) Qual é a probabilidade de que exista zero componente com defeito neste lote?

(b) Qual é a probabilidade de que exista um componente com defeito neste lote?

(c) Qual é a probabilidade de que existam dois componentes com defeito neste lote?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Organizando os eventos e as probabilidades.

Usaremos D i para representar os eventos onde um lote contém i itens defeituosos.

Foi dado que 60% de todos os lotes não contêm componentes defeituosos.

P D 0 = 0,6

30% contém 1 componente defeituoso.

P D 1 = 0,3

10% contém 2 componentes defeituosos.

P D 2 = 0,1

Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade de que exista zero componente com defeito neste lote. Logo, queremos P ( D 0 | N ) .

Usando o teorema de Bayes.

P D 0 N = P N D 0 P ( D 0 ) P N D 0 P D 0 + P N D 1 P D 1 + P N D 2 P ( D 2 )

Para encontrarmos P ( N | D i ) , vamos usar permutações.

A probabilidade de que 2 componentes não defeituosos sejam escolhidos de um lote com 0 defeituosos é:

P N D 0 = 20 2 20 2 = 1

A probabilidade de que 2 componentes não defeituosos sejam escolhidos de um lote com 1 defeituoso é:

P N D 1 = 19 2 20 2 = 171 190 = 0,9

A probabilidade de que 2 componentes não defeituosos sejam escolhidos de um lote com 2 defeituosos é:

P N D 2 = 1 8 2 20 2 = 1 53 190 = 0 , 8

Agora, basta substituirmos os valores na fórmula de Bayes.

P D 0 N = ( 1 ) ( 0,6 ) 1 0,6 + 0,9 0,3 + ( 0,8 ) ( 0,1 )

P D 0 N = 0,63

Passo 3

Queremos a probabilidade de que exista 1 componente com defeito neste lote, ou seja, P ( D 1 | N ) .

De forma similar a letra (a), usando o teorema de Bayes.

P D 1 N = P N D 1 P D 1 P N D 0 P D 0 + P N D 1 P D 1 + P N D 2 P ( D 2 )

= ( 0,9 ) ( 0,3 ) 1 0,6 + 0,9 0,3 + ( 0,8 ) ( 0,1 )

P D 1 N = 0,284

Passo 4

Por fim, queremos a probabilidade de que exista 2 componentes com defeito neste lote, ou seja, P ( D 2 | N ) .

De forma similar a letra (a), usando o teorema de Bayes.

P D 2 N = P N D 2 P ( D 2 ) P N D 0 P D 0 + P N D 1 P D 1 + P N D 2 P ( D 2 )

= ( 0,8 ) ( 0,1 ) 1 0,6 + 0,9 0,3 + ( 0,8 ) ( 0,1 )

P D 2 N = 0 , 084

Resposta

a) 0,63

b) 0,284

c) 0,084

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