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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 14

Qual a proporção de indivíduos se pode esperar para responder a certa solicitação de venda por catálogo, se a proporção X tem função densidade

f x = 2 ( x + 2 ) 5 ,     0 < x < 1 0   ,     c a s o   c o n t r á r i o  

Passo 1

Fala galera, beleza? Que tal um exerciciozinho pro dia dar aquela melhorada, BORA!

Estamos diante de uma função densidade de probabilidade de uma variável aleatória continua, além disso o enunciado nos dá a informação de “algo a se esperar”, portanto usaremos a formula de valor esperado para resolver o problema.

Vamos relembrá-la:

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x d x

Passo 2

Agora que já temos definido o que vamos usar, vamos montar nossa integral direitinho.

Primeiro, vamos dividir em 3 integrais para ficar mais fácil de analisar f ( x ) e depois disso é só matemática, pega seu lápis e corre pro abraço!

E X = ∫ - ∞ 0 x f x d x + ∫ 0 1 x f x d x + ∫ 1 ∞ x f x d x

Analisando f ( x ) nos determinados intervalos, temos:

E X = ∫ - ∞ 0 0 x d x + ∫ 0 1 2 x ( x + 2 ) 5 d x + ∫ 1 ∞ 0 x d x = ∫ 0 1 2 x ( x + 2 ) 5 d x

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integralzinha, e tá tudo acabado!

E X = ∫ 0 1 2 x ( x + 2 ) 5 d x = 2 5 ∫ 0 1 x x + 2 d x = 2 5 ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 0 1 2 x d x

Calculando essas integrais, concluímos em:

E X = 2 5 x 3 3 1 0 + 2 x 2 2 1 0 = 2 5 1 3 + 1 = 8 15

Resposta

A proporção de indivíduos se pode esperar para responder a certa solicitação de venda por catálogo é de 8 15 .

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