Enunciado
Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 4
Uma moeda é adulterada de modo que cara tem três vezes mais probabilidade de ocorrer do que coroa. Determine o número esperado de coroas quando essa moeda é jogada duas vezes.
Passo 1
Que dia lindo, que tal um exercício de probabilidade ein?
Show, vamos nessa!
A principio temos um problema relacionado a valor esperado, e a variável enunciada é uma variável discreta, então vamos recordar a fórmula de valor esperado.
Nossa variável aleatória X equivale a quantidade de coroas obtidas.
Nosso x = 0,1,2 (valores que nossa variável aleatória assume)
Desse modo, basta apenas descobrir p(xi) para cada caso e assim o exercício acaba, como um passe de mágica.
Passo 2
Então vamos em frente descobri esses possíveis valores de p(x=0), p(x=1) e p(x=2).
Vamos agora, recordar um dado do exercício: a probabilidade de ocorrer cara é equivalente a 3 vezes a probabilidade de ocorrer coroa, logo se:
Como o evento é único em um lançamento (ou ocorre cara ou ocorre coroa) a soma das probabilidades de dar cara ou dar coroa tem de ser igual a probabilidade do espaço amostral.
Matematicamente:
Reescrevendo:
P(x=0) é a probabilidade de não ocorrer nenhuma coroa.
Calculando:
P(x=1) é a probabilidade de ocorrer apenas uma coroa.
P(x=2) é a probabilidade de ocorrer duas coroas.
Agora, temos tudo que precisamos.
Passo 3
Voltando a expressão do valor esperado, podemos concluir que:
Resposta
Logo, o valor esperado de coroas é